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難問レベル

AB=6cm、BC=7cmの三角形ABC の辺BC上に点D をとり、三角形ABDを2点A,Dを通る直線で折り返すと、下図のように、点Bは点E に重なります。AE とBC の交わる点をF とすると、CF=3cmになり、三角形ABC の面積が三角形DEF の7倍になります。このとき、次の問に答えなさい。

0

(1)AF,BD の長さをそれぞれ求めなさい。

(2)三角形ACD を2点A,D を通る直線を軸(じく)として回転してできる立体の体積は、三角形ABD を2点A,D を通る直線を軸として回転できる立体の体積の何倍ですか。

ただし、円すいの体積は、【底面の円の面積】 × 【高さ】 ÷ 3 で求めることができます。

1

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こたえ

 (1)三角形ABC の面積が三角形DEF の面積の7倍なので、

三角形DEF の面積を @ とすると、三角形ABC の面積は F 、

さらに、BF =4cm、CF =3cm なので、三角形ABC は、下の

図2のように、三角形ABF の面積は C、三角形ACF の面積は

B のように考えることができます。

    Pic_2788a_2

次に、三角形ABD と三角形AED は合同なので、同じ面積です。

この部分は、下の図3のように、@+C=D の面積なので、

    Pic_2789a

それぞれの三角形の面積は、下の図4のようになります。

    Pic_2790a

図4より、BD : DF = 2.5 : 1.5 = 5 : 3 なので、

       BD = 2.5cm、DF = 1.5cm 

また、AE = 6cm で、AF : FE = 1.5 : 1 = 3 : 2 なので、

      AF = 3.6cm、FE = 2.4cm

と求められます。

 

 (2)三角形ACD と三角形ABD の面積比は、

     4.5 : 2.5 = 9 : 5 とわかります。

2つの三角形は、辺AD が共通なので、辺AD を底辺としたとき、

2つの三角形の高さの比 が 9 : 5 ということになります。

 

下の図5のように、頂点C,B から辺AD へ垂線を引き、交点を

それぞれG,H とすると、CG : BH = 9 : 5 です。

    Pic_2791a

2つの三角形を辺AD の周りに回転させると、三角形ACD の方は

CG を半径とする円を半径とした、高さ=AG とDG の三角すいを

合わせたものになります。

 

ここで、下の図6,7 を用意しました。

Pic_2792a

図6の体積は、

  2×2×3.14×4÷3+2×2×3.14×5÷3

=2×2×3.14×(4+5)÷3

=2×2×3.14×9÷3

となって、図7の円すいの体積を求める式と同じ式になります。

 

三角形ABD についても、下の図7,8を考えると、

Pic_2793a

図8の体積は、

  2×2×3.14×(9+5)÷3−2×2×3.14×5÷3

=2×2×3.14×(14−5)÷3

=2×2×3.14×9÷3

となって、図7の円すいの体積を求める式と同じ式になります。

 

このことから、三角形ACD と三角形ABD を辺AD を軸として

回転させてできる立体の体積は、下の図9のように、辺AD を

高さとして、半径の比が5:9の円すいの体積として求められ、

   Pic_2794a

 三角形ACD を回転させた立体 → 9×9×3.14×AD÷3

 三角形ABD を回転させた立体 → 5×5×3.14×AD÷3

となるので、2つの立体の体積比は、81:25 となります。

 

よって、三角形ACD を2点A,D を通る直線を軸として回転して

できる立体の体積は、三角形ABD を2点A,D を通る直線を

軸として回転できる立体の体積の

  81÷25=3.24倍 となります。

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