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下の図1〜3は、それぞれ同じ大きさの正六角形をすき間なく書いたものです。各図において、点A,Bは正六角形の頂点で、点P,Qは、A とBを結ぶまっすぐな線と正六角形の辺との交点です。なお、正六角形の大きさは、各図で違います。図1〜3について、ABの長さが30cmのとき、AP とPQの長さをそれぞれ求めてください。

 

 (1)図1

 Pic_3710q

 (2)図2

 Pic_3711q

 (3)図3

 Pic_3712q

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こたえ

 (1)下の図4のように、相似な3つの三角形ABE,PBD,RBC

を作ることが出来ます。

 Pic_3717a

すると、AP=PR=RB で、点QはPRのまん中の点なので、

   AP=10cm、PQ=5cm

とわかります。

 

 (2)下の図5のように、点C,Dをとると、

 Pic_3718a

三角形APD とBPCは相似で、AD:BC=1:3 より、

AP:BP=1:3 なので、AP=30÷4=7.5cm

求められます。

 

次に、下の図6のように点E,F をとると

 Pic_3719a

三角形ABF と三角形QBE は相似で、BF:BE=5:2 より、

AB:QB=5:2 なので、

   BQ=30÷5×2=12cm

となることから、

   PQ=AB−(AP+BQ)=30−(7.5+12)

     =10.5cm

と求められます。

 

 (3)下の図7のように点C,点Dをとります。(ACとBDは平行)

 Pic_3720a

三角形ACP と三角形BDP は相似で、AC:BD=1:4 より、

AP : BP = 1:4 で、AP=30÷5=6cm とわかります。

 

次に、下の図8のようにBDを延ばし、AからQDと平行に引いた

線との交点を点E とすると、

 Pic_3722a

三角形ABE と三角形QBD は相似で、AE と平行な線を

図8のように引けば、AQ : QB = 3 : 4 とわかり、

  BQ=30÷7×4=120/7cm

なので、

 PQ=30−(6+120/7)=48/7

    =6と6/7cm

と求められます。

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1000題の中学受験算数解法集