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4つの面に囲まれた立体のことを四面体といい、四面体のすべての辺が等しい立体のことを正四面体とよびます。正四面体ABCDの各頂点から対面こ下ろした垂線4本は1点で交わることがわかっています。この点をHとし、Aから対面に下ろした垂線の足をEとすると、AH=EH×3となりました。
いま、一辺が1cmの正四面体ABCDの外側に、辺が1cmの4つの正四面体PBCD、QACD、RABD、SABC、を配置するとき,4点P、Q、R、Sを結んでできる立体PQRSもまた正四面体となります。正四面体PQRSの一辺の長さを求めなさい。

3

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こたえ

P,Q,R,Sはそれぞれ、

面BCD,ACD,ABD,ABCをはさんで、

A,B,C,Dと対称になっています。

したがって、面BCDと面SQRは平行となります。

同様に他の面に関しても平行とわかります。

すると,正四面体ABCDの各頂点から下ろした垂線の交点Hは

正四面体PQRSの各頂点から下ろした垂線の交点に一致します。

PH=PE+EH=AE+EH=5×EH

となるので、PH=5/3×AH となります。

つまり、正四面体PQRSは正四面体ABCDの5/3倍の長さなので、

正四面体PQRSの一辺の長さは5/3cmになります。

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1000題の中学受験算数解法集