図において、四角形PQRSは長方形ABCDの内側に接していて、AP=4cm、AS=2cm、QC=7cm、RC=3cmで、角SPQ=90度、角QRS=45度です。このとき、四角形PQRSの面積を求めなさい。

1

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こたえ

QからSRに垂線を引き、その交点をTとすると、

△QRTは直角二等辺三角形となり、

直角三角形RQCと、

黄と緑の合同な2つの直角三角形とに囲まれ、

図の長方形EQCFの中にすべて収まります。

3

aとbの和が7cm、差が3cmより、和差算で、

a=(7−3)÷2=2cm

b=7−2=5cmと求められます。

さらに、直角三角形SRD(紫線)と直角三角形TRF(緑)は、

相似になるので、SD : DR=TF:FR=b:a=5:2となります。

SD=D、DR=Aとすると、

AB=DC=A+3cmより、

BP=A+3cm−4cm=A−1cm

BC=AD=D+2cmより、

BQ=D+2cm−7cm=D−5cm

ここで、△青と△赤は、角A=角B=90度

角APS=90度ー角QPB=角BQP

これにより、、△青と△赤は相似で、AS:AP=BP:BQ=1:2

消去算で、

D−5cm=(A−1cm)×2

D−5cm=C−2cm

D−3cm=C

@=3cm

これにより,

SD=D=3cmx5=15 cm

DR=A=3cmx2=6 cm

AB=DC=6cm+3cm=9 cm

BC=AD=15 cm+2cm=17 cm

BP=9cm−4cm=5cm

BQ=17cm−7cm=10 cm

以上より

四角形PQRS=長方形ABCD−

△青−△赤−△水色−△紫線

=9×17−2×4÷2−10×5÷2−7×3÷2−15×6÷2

=153−4−25−10.5−45=68.5cu

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1000題の中学受験算数解法集