四角形ABCDはひし形で、AE=CFとなっている点E、Fはそれぞれ辺AD、CDの上にあり、AFとBEによって、このひし形はア〜エの4つの部分に分けられています。三角形アの面積は四角形ウの面積より155cu小さく、三角形イの面積は四角形エの面積より31cu小さいことがわかっているとき、三角形アの面積は何cuですか。

2_3

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こたえ

まず、ウーア=155cuより、

(ウ+イ)−(ア十イ)=四角形ABCF−△ABE=155 cu

4

BとFを結ぶと、ひし形の性質より、

△赤=△緑となるので、

四角形ABCF−△緑=△黄=155 cu

△黄の面積はひし形ABCDの半分なので、

ひし形ABCD=155 cu×2=310 cu

次に、エーイ=31 cuより、

(エ+ア)−(イ+ア)=△AFD−△赤=31cu

辺CDの上にCF=FGとなる点Gを取ると、

ひし形の性質より、△赤=△緑=△青線、となるので、

△AFD−△青線=△水色=31cu

ここで、△緑+△青線+△水色=△黄=155cuなので、

△赤=△緑=△青線=(155cu−31cu)÷2=62cu

△緑=62cu、三角形AFD=62cu+31cu=93cuより、

CF:FD=62:93=2:3

CFの長さを2、FDの長さを3とすると、

ひし形ABCDの1辺は5となります。

Eを通りABに平行な線とBEがAFと交わる点を

それぞれH、Iとします。

△AHEと△AFDは相似形で、

HE=FD×(AE/AD)=3×2/5=1.2

△ABIと△HEIも相似で、

EI:BI=HE:AB=1.2:5=6:25

アとイは高さが等しい三角形なので、

ア:イ=6:25

ア=62cu×6/(6+25)=12cu

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1000題の中学受験算数解法集