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100本のマッチ棒の山があります。2人が順番にこの山からそれぞれ1回に10本以下のマッチ棒を取っていき、最後に残ったマッチ俸を取ったほうが勝ちというゲームをします。先手が必ず勝つためには最初に何本取れば良いですか。

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解法例

1人が1回こ取れる本数は1本以上10本以下なので、

先手は後手に対して11本残すようにすれば、

次に後手がどのような本数を取ったとしても、

最後の残りすべてを先手が取ることができます。

そのためには先手は、後手が11+1=12本以上、

11+10=21本以下の本数を残させるようにすればよいので、

前の先手の順番の時に12+10=22本を、

後手に対して残せばよいことになります。

以上のように考えて、

先手が後手に対して残す本数をさかのぼっていくと、

11、22、33、…………、99となり、

先手は最初に100−99=1本取ればよいことがわかります。

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