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次の【約束1】、【約束2】をまもって、0から9までの10種類の数字と何種類かのアルファベットを合わせた中から3種類を横一列に並べます。

 

【約束1】 同じ数字やアルファベットをくりかえし使ってもよいです。

【約束2】 数字だけを3個並べたり、アルファベットだけを3個並べたりしてはいけません。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)アルファベットがA,B,C の3種類のとき、並べかたは何通りありますか。

 

(2)アルファベットが< ア >種類のとき、並べかたは5000通り以上あります。

< ア >にあてはまる数のうち最も小さい数を求めなさい。

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こたえ

(1)数字とアルファベット、合わせて13種類から3個を選んで並べる並べ方は、

 13×13×13=2197通り あります。

数字だけ3回並べてはいけないので、

10種類の数字から3個を選んで並べる並べかた、10×10×10=1000通りは

除かなくてはいけません。

また、アルファベットだけ3回並べることもいけないので、

3×3×3=27通り も除きます。

よって、この場合の並べかたは、

2197−(1000+27)=1170通り

となります。

 

(2)(1)と同様に考えると、アルファベットが10種類あった場合

20×20×20−(1000+1000)=6000通り となります。

アルファベットが9種類あった場合

19×19×19−(1000+9×9×9)

=6859−1729=5130通り

 

アルファベットが8種類あった場合

18×18×18−(1000+8×8×8)

=5832−1512=4320通り

 

以上より、<ア>=9種類 です。

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