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いくつかのサッカーチームが参加して、総当り(各チームが他のすべてのチームと1回ずつ対戦すること)の大会を行います。大会の各試合について、次のようにポイントが与えられます。勝敗がついたとき 勝ったチームに3点、負けたチームは0点、引き分けのとき  両チームに1点ずつ、大会のすべての試合が終わった後、各チームでポイントの合計を計算します。ここでは、計算した各チームの合計ポイントの組み合せに、どのようなものがあるかを考えます。

たとえば、参加が2チームのときは1試合が行われ、合計ポイントの組み合せは(3,0)、(1,1)の2通りになります。参加が3チームのときは、引き分けが1試合もなければ、合計ポイントの組み合せは(6,3,0)、(3,3,3)の2通りです。また、3試合とも引き分けならば(2,2,2)だけになります。

 

参加が4チームのとき、次の問に答えなさい。

(1)4チームの合計ポイントをすべて加えると何点になるか考えるとき、考えられるもののうち、最も大きい数と、最も小さい数を答えなさい。

(2)4チームの中に合計ポイント9点のチームがあるとき、他の3チームの合計ポイントの組み合せには、どのようなものがありますか。数を大きい順に並べて、上の例にある(○、△、□)のようにして、考えられるものをすべて答えなさい。

(3)4チームの中に合計ポイント7点のチームが1チームだけあるとき、他の3チームの合計ポイントの組み合せは何通りありますか。

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こたえ

 
(1)4チームで総当りの試合をした場合の試合数は、

    3+2+1=6試合

です。

 

勝敗がつく場合、勝ったチームは3点、負けたチームは0点

なので、2チーム合計で3点が加わります。

 

引き分けの場合、どちらのチームも1点なので、2チーム合計で

2点が加わります。

 

1試合が行われるたびに、3点または2点が加わるので、

4チームの合計ポイントをすべて加えて最も大きい数に

なるのは、引き分けが全く無い場合で、1試合3点なので、

3×6試合=18点 です。

 

4チームの合計ポイントをすべて加えて最も小さい数に

なるのは、すべてが引き分けの場合で、1試合2点なので

2×6試合=12点 です。

 

 (2)合計ポイント9点は、3+3+3=9 なので、

全勝ということです。このチームと対戦した全チームは0点です。

 

すると、残りの3チームで総当りをした場合のポイントの組み合せ

を考えればよいことになります。

 

問題文より、引き分けがない場合は(6,3,0)、(3,3,3)

3試合すべて引き分けの場合は、(2,2,2)になります。

 

A,B,Cの3チームがあるとして、

引き分けが1試合あった場合は

 A:1勝1分け B:1勝1分け C:2敗 (4,4,0)

 A:2勝 B:1敗1分け C:1敗1分け (6,1,1)

 A:1勝1敗 B:1勝1分 C:1敗1分け (3,4,1)→(4,3,1)

の3通りがあります。

 

引き分けが2試合あった場合は

 A:2分け B:1勝1分け C:1敗1分け (2,4,1)

の1通りがあります。

 

以上をまとめると、合計ポイントの組み合せは

 (6,3,0)、(6,1,1)、(4,4,0)、(4,3,1)、

 (4,2,1)、(3,3,3)、(2,2,2)

の7通りがあります。

 

 (3)7点を取るには、3+3+1=7 なので、2勝1分けの

結果になります。

 

(2)の場合と比べると、1チームにだけ1点多く入ります。

つまり、(2)で(6,3,0)だった場合は、

 (7,3,0)、(6,4,0)、(6,3,1)

になり得ます。

 

(6,1,1)の場合は、(7,1,1)と(6,2,1)になり得ます。

(4,4,0)の場合は、(5,4,0)と(4,4,1)になり得ます。

(4,3,1)の場合は、(5,3,1)と(4,4,1)と(4,3,2)です。

(4,2,1)の場合は、(5,2,1)と(4,3,1)と(4,2,2)です。

(3,3,3)の場合は、(4,3,3)です。

(2,2,2)の場合は、(3,2,2)です。

 

(4,4,1)が重複している点と、7点をとるチームは1チームだけ

という点に注意すると、15−3=12通り の組み合せがある

ということがわかります。

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