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オリンピックのマークは、青色、黄色、黒色、緑色、赤色の5色で描かれています。同じ形のマークを自分のペンを使って描いてみることにしましたが、赤色のペンがありませんでした。そこで、赤色以外の4色のペンで描くことにしました。いま、下の図のように、まん中の輪を黒色で描いたあと、以下のようなことを考えました。各問に答えなさい。

Pic_3888q

(1)青色と黄色の2色だけで残りの輪を描くとき、全部で何通りできますか。ただし、どちらか1色だけで描くことはしません。

(2)黒色以外の3色(青色、黄色、緑色)すべてを使って残りの輪を描くとき、同じ色の輪が交わることのないようにするには全部で何通り考えられますか。

(3)残りの輪を黒色を含む3色で描くことにした場合、(2)と同じように同じ色の輪が交わることのないようにするには全部で何通り考えられますか。

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こたえ

(1)わかりやすくするため、下の図1のように、輪に@〜Cの

番号をつけます。

Pic_3889a

【@、A、B、C】を青、黄で描くとき、描き方は

 2×2×2×2=16通り (@は青か黄の2通り、AもBもCも)

ありますが、すべて青、黄の2通りを除かなければならないので、

輪の描き方は、16−2=14通り です。

 

 (2)@とA、BとCは同じ色を使わず、@〜Cで3色すべて

使うことに気をつけて、@が青の場合の樹形図を書くと、下の

図2のようになり、

   Pic_3890a

@が黄色、緑色の場合もそれぞれ8通りずつできるので、

輪の描き方は、8×3=24通り あります。

 

 (3)黒を含む3色で、残りの輪の描き方を考えますが、

黒はA、Bに描くことはできません。

 

まず、下の図3のように、@とCを黒にする場合

Pic_3891a

AとBに青、黄、緑から2つ選んで入れます。

2つ選ぶのは (青、黄)、(黄、緑)、(青、緑)の3通りがあり、

(A、B)に描くか、(B、A)に描くかの2通りがあるので、

この場合の輪の描き方は、3×2=6通り あります。

 

次に、下の図4のように、@を黒で描いた場合

Pic_3892a

A、B、Cの3つを2色で描きます。

青、黄、緑から2色を選ぶのは上記のとおり、3通りあります。

ここで、BとCは同じ色では描けないので、

描き方のパターンは、

  AとBを同じ色 − Cを残った色

  AとCを同じ色 − Bを残った色

の2通りとなり、配色のパターンも図3の場合と同様2通りです。

 

よって、この場合の輪の描き方は、3×2×2=12通り あります。

 

Cを黒で描いた場合も同様に12通り の描き方があるので、

輪の描き方は、合計で、

  6+12×2=30通り

あります。

 

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