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4ケタの整数ABCDに次の@、A、Bの【操作】を行って新しい整数を作ります。

【操作】

@ A×A、B×B、C×C、D×D をそれぞれ計算する

A @でできた4個の数をそれぞれ 14 で割り、余りを求める

   ただし、0を14で割ったときの余りは 0 である

B Aで求めたあまりを順に並べて整数を作る

たとえば、下のように 2014 に【操作】を行うと、4012が作られ、1513に【操作】を行うと、11119 が作られます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3814a_2 

(1)下の表の空欄に数を入れて表を完成させなさい。

Pic_3815q

(2)【操作】を行っても値が変化しないような4ケタの整数は全部で何個ありますか。

(3)【操作】を行うと値が小さくなるような4ケタの整数は全部で何個ありますか。

(4)【操作】を行うと値が大きくなるような4ケタの整数は全部で何個ありますか。

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こたえ

(1)下の表1のように完成することができます。

Pic_3816a

 (2)表1より、値が変化しない数字は、0,1,7,8 の4個

があります。0,1,7,8 を使って作ることができる4ケタの

整数の個数は、 下の図1の樹形図より、

   Pic_3817a

3×4×4×4=192個 です。

 (3)値が小さくなる数は、4 だけです。

4を含む整数のうち、値が小さくなるのは、次の場合になります。

@ 4が千の位のとき、百、十、一の位に 5,9を含まないもの

A 4が百の位のとき、千の位は1,7,8 で、

  十の位、一の位には 5,9 を含まないもの

B 4が十の位のとき、千の位は1,7,8 で、百の位は

  0,1,7,8で、一の位には 5,9 を含まないもの

C 4が一の位のとき、千の位は1,7,8 で、百、十の位は

  0,1,7,8 を使うもの

 @のとき、8×8×8=512個

 Aのとき、3×8×8=192個

 Bのとき、3×4×8=96個

 Cのとき、3×4×4=48個

となり、これらを合計した 848個 の整数が【操作】を行うと

値が小さくなります。

 (4)4ケタの整数は、9999−999=9000個 あり、

(2)、(3)より、【操作】を行うと値が大きくなる4ケタの整数は

  9000−(192+848)=7960個

とわかります。

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