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ある世界では、1日が10時間(午前5時間、午後5時間)、1時間が25分、1分が25秒に区切られていて、下の図のような時計を用いて時間を計っています。現在の時間は午後2時5分0秒で、時計の短針(黒)、長針(白)、秒針は正しい時刻を指しています。この時計はこれからも正確に動くものとして、次の問に答えなさい。

 Pic_3693q

(1)これから時間が進んで最初に短針と長針が重なる時刻を求め、そのときの時計の3本の針を図に表しなさい。

(2)さらに時間が進んで最初に短針と長針がちょうど反対向きになる時刻を求め、そのときの時計の3本の針を図に表しなさい。

(3)現在(午後2時5分0秒)から、3本の針がすべて同じ向きになって重なる回数を数えます。ちょうど100回目となるのは何日後で、午前、午後のどちらの何時何分何秒ですか。ただし、現在から2時間20分後の午前0時から1日後が始まるものとします。

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こたえ

(1)秒針は1秒で、360÷25=14.4度 進みます。

長針は、1分で、14.4度 進みます。

短針は、1時間で、360÷5=72度進み、1分で、72÷25=2.88度進みます。

まず、長針と短針が重なる時刻を求め、そのときに秒針が重なるかどうかで判断します。

2時の時点で、長針と短針は、144度はなれているので、重なるのは、

  144÷(14.4−2.88)

=144÷11.52

=12.5分後

です。

長針の位置は、12.5×14.4=180度 のところで、

  12.5分=12分12.5秒後(この世界では)

なので、秒針の位置も同じとなります。

 

よって、長針、短針、秒針が重なるのは、

午後2時12分12.5秒 で、下の図1のようになります。

 Pic_3694a

 (2)図1の状態から、長針と短針の作る角度が180度に

なる時刻を求めると、

  180÷(14.4−2.88)=15と5/8分後

とわかります。

 

12.5+15と5/8=28と1/8 より、2時28分と1/8分で、

1時間が25分なので、3時3分と1/8分。

1/8分=25×1/8=3と1/8秒 なので、長針と短針が

反対向きになるのは、午後3時3分3と1/8秒です。

また、秒針と分針が重なることがわかります。

 

3時3分3と1/8秒を図に表すと、下の図2のようになります。

 Pic_3695a

 (3)(2)より、長針が短針と180度はなれるとき、

長針と秒針が重なることがわかります。

 

つまり、この後、長針と短針が重なるとき、必ず秒針も重なる

ということになります。

 

(2)より、長針と短針が重なるのは、

   15と5/8 ×2 = 31と1/4分ごと

とわかります。

 

午後2時12分12.5秒を1回目として、3本の針が100回目に

重なるのは、

  31と1/4 × 99 =125×99/4=12375/4

 =3093と3/4分後

  3/4分=25×3/4=18と3/4秒

  3093分=3093÷25=123時間18分

  123時間=123÷10=12日と3時間

より、12日と3時間18分18と3/4秒後 が100回目で、

      午後2時12分12と1/2秒 の

  12日と3時間18分18と3/4秒後は、

  12日と午後5時30分31と1/4秒後で、

  13日後の午前1時6分6と1/4秒

です。

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