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円周上に1時間で1周する点A と、5時間で1周する点B があります。下の図のように、円周を5等分する点を@、A、B、C、Dとし、円の中心を点Oとします。はじめ、点A,Bは、@から同時に時計回りに出発し、再び点A,Bが同時に@にくるまで回り続けます。このとき、次の問に答えなさい。

 Pic_3760q

(1)点Bは1分間に点Oを中心として何度回転しますか。

(2)いま、点BがAとBの間にあり、点AがCとDの間にあります。2つの点がしばらく動き続けると、AとBの位置が入れかわります。入れかわるまでにかかる時間を求めなさい。

(3)(2)で入れかわった位置に点A,Bがくるのは、スタートから何時間何分後ですか。

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こたえ

(1)5時間(=300分 )で、360度を回転するので、

1分間には、360÷300=1.2度 回転します。

 

 (2)BがAとBの間にいるのは、1時間後〜2時間後の間で、

その間にAがCとDの間にいるのは、

   1時間36分後〜1時間48分後

の間です。

 

次に、BがCとDの間にいるのは、3時間後〜4時間後の間で、

その間にAがAとBの間にいるのは、

    3時間12分後〜3時間24分後

の間です。

 

などと考えるとキリがなくなるので、考え方を変えましょう。

 

BがAとBの間にいて、AがCとDの間にいるときから

BがCとDの間にいて、AがAとBの間にいて、場所が

入れかわるまで、□分間とします。

 

□分間に、

  Bは、1.2×□(度) 進み、

  Aは、1分間に6度進むので、6×□(度) 進みます。

これを下の図1のように描くと、2点を合わせると720度

移動していることがわかります。 

 Pic_3782a

つまり、1.2×□+6×□=720 なので、□=100分

2点A,Bの場所が入れかわるまでにかかる時間は、

1時間40分 ということになります。

 

 (3)スタートしてから、BがAとBの間にいて、AがCとDの間

にいるときまでの時間を ■分 とすると、(■+100)分後に

A が元のBのいた位置にいて、3周と少し移動しているので

  1.2×■=6×(■+100)−360×3

となり、

  1.2×■=6×■−480

より、

  4.8×■=480

で、■=100分 とわかります。

よって、入れかわった位置に点A,Bがくるのは、スタートしてから

100+100=200分後で、3時間20分後 です。

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