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Pic_3767q

上の図の四角形ABCD は、AD とBC が平行な台形です。対角線AC と BD が交わる点をE とし、辺BC 上に点F をとります。三角形AFE の面積が42cu、三角形DEC の面積が108cu のとき、BF の長さとFC の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

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こたえ

AD とBC が平行なので、

下の図1の三角形ACD と三角形ABD の面積が等しく、

共通部分の三角形ADE を除いた

三角形CDE と三角形ABE の面積が等しいことがわかり、

共に面積が 108cu となります。

Pic_3768a

次に、下の図2のように、点F から GA と平行な線 FP を引き、

線上に点Qをとると、

三角形AFE の面積と三角形AEQ の面積が等しくなり、

共に42cu となります。

Pic_3769a

よって、下の図3のように、AC上に、Bから垂線BR を引き、

点QをBR上に移動させると、

Pic_3770a

三角形ABE の面積=108cu、

三角形AEQの面積=42cuなので、

BR : QR = 108 : 42 = 18 : 7 とわかります。

 

三角形BFQ と三角形BCR は相似なので、

  BR : QR = BC : FC = 18 : 7

となるので、

  BF : FC = 18−7 : 7 = 11 : 7

と求められます。

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