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1から20までの整数を2つずつ10組に分けます。これら10組の中で、最大公約数が1となる組の個数が最も少なくなるような分け方をしたとき、最大公約数が1となる組の個数は何組になりますか。

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こたえ

1から20までの整数のうち、

素数(1とその数以外に約数がない数)は、

2,3,5,7,11,13,17,19 があります。

このうち、2,3,5,7 には 20までに倍数があります。

最大公約数が1となる組を少なくするには、

11,13,17,19 を、これら同士で組にすればよいです。

【(11,13)、(17,19)のように】

また、1と組む数は、必ず最大公約数は1となります。

1,11,13,17,19 以外の15個は、

偶数が10個と、3,5,7,9,15なので、

(3,9)、(5,15)を作り、(1,7)を作れば

残りはすべて偶数の組となります。

よって、最大公約数が1となる組が最も少なくなるとき、

その組の数は、3組です。

 (例:(11,13)、(17,19)、(1,7))

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