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(1)標準レベル(2)応用レベル(3)応用レベル

下の図の四角形ABCD は、ADとBCが平行な台形です。

辺AB上に点E があり、四角形ABCD はCE によって面積が二等分されます。また、辺BC上に点F があり、四角形ABCD はDF によって面積が二等分されます。さらに、辺CD上に点G があり、四角形ABCD は BGによって面積が二等分されます。このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3742q

(1)AE の長さと BF の長さを求めなさい。

(2)EG の長さを求めなさい。

(3)三角形EFG の面積と四角形ABCD の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

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こたえ

(1)まず、下の図1のように三角形ABC と三角形ACD の

面積比が、【15】 : 【7】 ということがわかります。ということは、

四角形ABCD の面積は、【15】+【7】=【22】です。

  Pic_3743a

次に、下の図2のように点E がAB上にあるとき、

CE が四角形ABCD の面積を二等分するので、

三角形BCE =【11】、三角形ACE = 【4】 となります。

  Pic_3744a

よって、AE : BE = 4 : 11 とわかるので、

 AE の長さ=12÷(4+11)×4=3.2cm

と求められます。

 

BF についても同様の手法で、下の図3のように

 三角形ABD = 【7】、三角形BCE = 【15】

なので、DF の線を引くと、

 三角形BDF = 【4】、三角形CDF = 【11】

となるので、

  Pic_3745a

BF : CF = 4 : 11 とわかるので、BC=15cm より、

BF=4cm と求められます。

 

 

 (2)G の位置は、(1)と同様の手法で、下の図4のように

DC を 4:11 に分ける場所とわかります。

  Pic_3746a

下の図5のように、E,G はそれぞれAB,DC を 4 : 11 に

分ける点なので、EG はAD,BC と平行になります。

  Pic_3747a

AD=7cm で、BC=15cm と、8cm長くなっています。

DからCへ、C+J=N 進むと8cm 長くなるので、

DからGへ、C進むと、8÷15×4=32/15cm 長くなり、

 EG=7+32/15=9と2/15cm

となります。

 

 

 (3)三角形EFG は下の図6のようになっています。

  Pic_3748a

三角形EFG は、等積変形によって、三角形BEG と同じ面積に

なり、下の図7のように

  Pic_3749a

三角形BEG : 三角形BCG = 137/15 : 15 = 137 : 225

という面積比になります。ここで、BG は四角形ABCD の面積を

二等分しているので、三角形BCG の面積は、四角形ABCD の

半分です。

 

よって、

   三角形EFGの面積 : 四角形ABCDの面積

= 137 : 225×2 = 137 : 450

となります。

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