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たて1cm、横2cmの長方形の紙を下の図のように規則的にならべていきます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_1663q

(1)6番目の図形の周囲の長さ(図の太線部分)を求めなさい。

(2)図形の周囲の長さが150cmになるのは何番目の図形ですか。

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こたえ

(1)太線の長さは、下の図1のように、図形がぴったり入る

長方形の周りの長さに等しいことがわかります。

 Pic_16641a

 1番目は、1cm×2cmの長方形の周りの長さ

 2番目は、3cm×4cmの長方形の周りの長さ

 3番目は、5cm×6cmの長方形の周りの長さ

 4番目は、7cm×8cmの長方形の周りの長さ

として、規則的に測ることができるので、

 6番目は、11cm×12cmの長方形の周りの長さと等しく、

       (11+12)×2=46cm となります。

 

 (2)□番目の長方形が、(たて+横)×2=150cm

となるので、たて+横=75cm とわかります。

さらに、たてと横の差は1cmなので、たて=37cm、横=38cm

となります。

 

番号と横の長さは、2倍の関係になっているので、

太線の長さが150cmになるのは、38÷2=19番目 です。

 

<別解>

 (1)1番目の長方形の周囲の長さは、6cmです。

2番目以降の図形の周囲の長さは、下の図2のように、図形を

青線部分と黄色線部分に分けて考えると、

Pic_16632a

黄色い線の長さは6cmで、青線部分の長さはそれぞれ

 2番目・・・2×4

 3番目・・・4×4

 4番目・・・6×4

となるので、6番目の図形の青線部分に当たる長さは、

 10×4=40cm となります。

 

よって、6番目の図形の周囲の長さは、

 青線部分+黄色線部分=40+6=46cm です。

 

 (2)□番目の図形の周囲の長さは、(□−1)×2×4+6

として求めることができるので、

 (□−1)×2×4+6=150cm となるのは、

 □=19 より、19番目です。

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1000題の中学受験算数解法集