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下の図のように、正三角形ABC のそれぞれの辺を3等分する点をD,E,F,G,H,I とします。A〜I のうち、3点を結んで三角形を作るとき、次の問に答えなさい。ただし、3点を結んで三角形ができないような結び方は考えないものとします。

    Pic_3682q

(1)3点E,F,I を結んでできる三角形の面積は正三角形ABCの面積の何倍ですか。

(2)3点を結んでできる三角形のうち、正三角形ABC の面積の3分の1になるものは何通りありますか。

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こたえ

(1)三角形EF I 以外の三角形を考えると、下の図1のように

    Pic_3683a

三角形BEF は、三角形ABC と相似比 1:3 なので、

面積比は、1×1 : 3×3 = 1:9 で、

三角形CF I は、三角形ABC と相似比 2:3 なので、

面積比は、2×2 : 3×3 = 4:9 です。

 

三角形EF I と三角形AE I は合同な三角形なので、

三角形ABC の面積を 【9】とすると、

三角形BEFは【1】、三角形CF I は【4】、

三角形EF I と三角形AE I は、{【9】−(【1】+【4】)}÷2=【2】

となります。

 

よって、三角形EF I は、三角形ABC の面積の 2/9倍

とわかります。

 

 (2)面積が三角形ABC の1/3 となる三角形を考えると、

まず、下の図2の三角形AIB や、三角形CDE があり、

    Pic_3684a

これらの三角形は、頂点をA,B,C のどれかにして、底辺が

対辺の1つに取れば作ることができるので、9通り あります。

 

次に、(1)を参考にすると、【2】の大きさの三角形を3個作ると

下の図3のように

    Pic_3685a

面積が【3】となる三角形を2通り作ることができます。

 

以上より、正三角形ABC の面積の3分の1になるものは、

  9+2=11通り

あります。

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1000題の中学受験算数解法集