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下の図のような正三角形ABC と、OA=OB=OC=12cmとなるような点Oがあります。いま、3点P,Q,R が点Oを同時に出発し、点PはOA間を、点QはOB間を、点RはOC間を、それぞれ毎秒1cm、2cm、3.5cm の速さで往復し続けます。このとき、次の問に答えなさい。

     Pic_3444q

(1)3点P,Q,R が点Oで最初に出会うのは出発してから何秒後ですか。

(2)3点P,Q,R を結んでできる三角形が最初に正三角形になるのは出発してから何秒後ですか。

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こたえ

(1)点Pは24秒ごとに、点Qは12秒ごとに、点Rは 48/7秒

ごとに点O に戻ってきます。

 

点P が点Oに戻るとき、必ず点Qも点O にいます。

(24=12×2 なので)

 

なので、3点P,Q,R が同時に点Oに戻るのは、

点P と点R が同時に戻るときを考えればよく、

24 と 48/7 の最小公倍数になり、48秒後 です。

(24×2=48、48/7 ×7=48)

参考 → 分数を含む最小公倍数の求め方

 

 (2)三角形PQR が正三角形ということは、

OP=OQ=OR ということです。

 

まず、点Pと点Qが、OP=OQ となるのは、

    24÷(1+2)=8秒後 (点Oから8cmのところ)

    12+(12÷3)=16秒後 (点Oから8cmのところ)

    2点がともに点Oにもどる 24秒後 (点O)

となります。このくり返しです。

 

つまり、8の倍数の時間で、点R が点Oから8cmのところに

いつ来るかを調べればよいですね。

 

 8秒後 : 3.5×8=28cm (点Oから4cm)

 16秒後 : 3.5×16=56cm (点Oから8cm)

このことから、三角形PQR が最初に正三角形になるのは、

出発してから 16秒後 です。

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1000題の中学受験算数解法集