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下の図1のような円すいがあります。図2はこの円すいの展開図です。この円すいの側面上に、点A から点B まで糸が最短になるように巻くと、糸の長さは25cm になりました。このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3133q

(1)底面の円の半径は何cmですか。

(2)糸上の点と、点Oを結んだ線のうち、一番短い線の長さは何cm ですか。

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こたえ

(1)展開図の扇形の弧の長さは、

20×2×3.14×90/360=10×3.14(cm)

となります。

底面の円の半径=□cmとすると、

底面の円の円周の長さ=扇形の弧の長さ なので、

□×2×3.14=10×3.14(cm)

となり、□=5cm とわかります。

 

(2)糸が最短になるのは、

展開図で点A と点B を直線で結んだ線と糸が一致するときです。

糸と点Oを結んだ線のうち、一番短くなる線は、

下の図3のように、直線ABに点Oから垂線を下ろしたときです。

( 参考 → 点と直線の距離について

  Pic_3134a_2

このOPの長さを求めることになります。

すると、三角形OABと三角形PAOが相似で、

相似比はAB=25cm、OA=15cm より、

25:15=5:3 です。

求めるOPに相当するのは三角形OABの辺OBなので、

20 : OP = 5 : 3 より、OP=12cm

と求められます。

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1000題の中学受験算数解法集