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下の図のように、AB=5cm、BC=10cm、角ABC=90度の直角三角形ABC の内部に5つの正方形があります。

Pic_3624q

次の問に答えなさい。

(1) @の正方形の1辺の長さを求めなさい。

(2) Aの正方形の面積を求めなさい。

(3) Dの正方形の1辺の長さを求めなさい。

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こたえ

(1)下の図1のように、正方形@の対角線BDを引くと、

Pic_3625a

三角形ABC の面積は、三角形ABD と三角形BCD の和となり、

それぞれの三角形は、AB,BCを底辺とすると、

高さは共にDE の長さと等しくなることから、

DE の長さを求めると、

5×10÷2=5×DE÷2+10×DE÷2

=15×DE÷2 となり、

DE=10/3=3と1/3cm と求められます。

 

(2)三角形ABC と三角形DEC は相似で、

相似比は、5 : 10/3 = 3 : 2 なので、

正方形@と正方形Aの相似比も、3 : 2 で、

正方形Aの1辺の長さは、10/3 の 2/3 で、

10/3 × 2/3 = 20/9(cm)

なので、Aの正方形の面積は、

20/9×20/9=400/81=4と76/81cu

と求められます。

 

(3)正方形の1辺の長さは、2/3倍になっていき、

正方形Dの1辺の長さは、

10/3 × 2/3 × 2/3 × 2/3 × 2/3 = 160/243cm

と求められます。

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