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Pic_3601q

上の図1のような台形柱があります。この立体の各面の形は正方形か長方形か台形です。このとき、次の問に答えなさい。

(1)この立体の体積と表面積を求めなさい。

(2)下の図2のように、面アの対角線の交点を中心とする半径5cmの円をA とします。そしてA の形の穴を面アと垂直に、この立体を突き抜けるようにあけます。このとき穴をあけた後の立体の体積を求めなさい。

 Pic_3602q

(3)(2)でできた立体について、下の図3のように面イを12等分 して、青い正方形をBとします。Bの形の穴を面イと垂直に立体を突き抜けるようにあけます。このとき、穴をあけた後の立体の表面積を求めなさい。

 Pic_3603q_2

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こたえ

(1)まず、体積=台形の面積×高さ30cm で、

      (30+60)×40÷2×30=54000立法cm

と求められます。

 

次に表面積は、すべての面の面積の和で、台形=1800cuより、

  1800×2+(30+40+50+60)×30=9000cu

と求められます。

(2)半径5cm、高さ40cmの円柱の体積を除けばよいので、

 54000−5×5×3.14×40=54000−3140

                    =50860立法cm

と求められます。

 

(3)まず、下の図4のように正方形Bから穴をあけると、

円Aの円柱をちょうど突き抜けます。

 Pic_3604a

円柱による表面積の増減は、上下の円の面積が減り、

図4の緑の円柱以外の部分の側面積が増えるので、

トータルで考えると、

  10×3.14×30cm − 5×5×3.14×2

 =250×3.14cu

増えます。

 

次に、正方形Bによってあけた穴について考えると、

まず、図3の黄色い四角形のたての長さは、

下の図5のように、50cmの4分の1で、12.5cmです。

Pic_3605a

次に、穴をあけたことによって増える面積は、

上底=Xcm、下底=Ycmの台形が2枚と、

円Aと同じ穴のあいた長方形(長さ Xcm と Ycm のもの)

となります。

 

このXcm と Ycm は、図5の右上の台形の図から、

  X = 30+30÷4=37.5cm

  Y = 30+7.5×2=45cm

と求められます。

 

よって、正方形Bによる表面積の増減は、

 (37.5+45)×10÷2×2  ・・・ 台形2枚

  +10×37.5+10×45−5×5×3.14×2 ・・・長方形

  −(10×10+10×12.5) ・・・ 正方形B と黄色い四角形

=825+825−50×3.14−225

=1425−50×3.14=1425−157

=1268cu 増えます。

 

以上から、立体の表面積は、

   9000+250×3.14+1268=9000+785+1268

 =11053cu

と求められます。

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