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下の図のように、1辺の長さが 6cmの立方体の上に、1辺の長さが 3cmの立方体を置きます。3点A,B,C を通る平面でこの立体を切ったとき、次のような立体の体積を求めなさい。ただし、点A,B,D は頂点、点C は辺の中点で、点A から点Dまで結ぶ辺は一直線になっています。

     Pic_3462q

(1)小さい方の立方体で、この平面より下側の部分

(2)大きい方の立方体で、この平面より下側の部分

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こたえ

(1)まず、同一平面上にある点A と点B, 点A と点C を

下の図1のように直線で結ぶと、3点A,B,C を通る平面は

図1の点E,F を通ることがわかります。

     Pic_3463a

ここで、点B と点F を結ぶと、下の図2のように点G を通ることが

わかります。

     Pic_3464a

すると、求める体積は、図2の三角すい台EGP−AFQ となります。

三角すいB−EGP と 三角すいB−AFQ の相似比が 1:2 なので

2つの三角すいの体積比は、1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8 で、

三角すい台 EGP−AFQ の体積は、三角すいB−EGP の7倍で、

1.5×1.5÷2×3÷3×7=63/8(立法cm)

と求められます。

 

(2)頂点B から、FC と平行に線を引くと、下の図3のように

頂点H で交わります。

     Pic_3465a_2

求める体積は、大きい立方体から三角すい台BHR−FCS を

除いたものになります。

求め方は(1)と同様にすれば求めることができますが、

また違う方法を考えてみると、三角すい台BHR−FCS が

(1)の三角すい台EGP−AFQ と相似であることに注目して、

相似比が 1:2 より、体積比は、1:8 なので、

三角すい台BHR−FCS の体積は、 63/8 × 8 =63立法cm

となります。

よって、求める体積は、6×6×6 − 63 = 153立法cm です。

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