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0,1,2 の3つの数字のみを使って数を作り、次のように小さい方から順に並べます。

1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,・・・

このとき次の問に答えなさい。

(1)122番目の数は何ですか。

(2)2222 は初めから数えて何番目になりますか。

(3)記号 <+> は、

(m番目の数)<+>(n番目の数)=(m+n番目の数)

の計算を表すこととします。

たとえば、4番目の数は11、5番目の数は12、9番目の数は100 なので、11<+>12=100 となります。

このとき、次の計算をしなさい。

(ア) 11<+>22       

(イ) ( 2012 <+> 2102 ) <+> 2002

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こたえ

(1)使う数字の数は「3個」です。なので、「3個」でまとめることを

考えます。

 

1ケタの数:1,2 に、「0」を加えると、「3個」になります。

2ケタの数:10,11,12,20,21,22 に、1ケタの数を

 00,01,02 と2ケタと見なすと、3×3=9個になります。

(下の表1)

            Pic_3335a

さらに、3ケタの数に、1ケタ、2ケタの数を百の位に「0」を

つけて3ケタと見なすと、下の表2のように

            Pic_3336a

3×3×3=27個 になります。

 

同じように、4ケタの数までで、3×3×3×3=81個 に

なります。(下の表3)

Pic_3337a

122番目の数は、最初の「0」を含めると、123番目の数

ということになります。

 

123番目は、123−81=42 より、

5ケタに入ってから、42番目の数です。

 

4ケタの数は、1列(0000の列、1000の列、2000の列) に

27個の数があるので、42−27=15 より、

1000の列に入って15番目の数で、3ケタの数は、9個ずつ

カタマリになっているので、15−9=6 より、その2個目の

カタマリの6番目の数で、表1より、「12」です。

 

以上より、122番目の数は、11112 です。

 

(2)「2222」は、表3の81番目にあります。

表3には、「0」の個数が含まれるので、「2222」は、80番目

ということになります。

 

(3)(ア)表1より、11=4番目、22=8番目なので、

12番目の数を求めればよく、表2より、110 とわかります。

 

(3)(イ)表3より、2012=59番目

           2102=65番目

           2002=56番目

の数なので、求める数は、

 59+65+56=180番目

の数です。

 

「0」を含めると、181番目の数を求めればよく、

81×2=162 なので、5ケタの2000のカタマリの中の

181−162=19番目の数を求めればよく、表2より、19番目は

200なので、求める数は、20200 です。

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1000題の中学受験算数解法集