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Pic_0999a_2

上の図は、3つの大きさの異なる正方形と1つの円を重ねたものです。それぞれの正方形の対角線の交点は円の中心と重なります。このとき次の問に答えなさい。

(1)青い正方形の面積を求めなさい。

(2)円の面積を求めなさい。

(3)緑の部分の面積を求めなさい。

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こたえ

(1) 青い正方形と、その1つ外側の正方形を見てみると、

下の図1のように、青い正方形は、外側に合同な4つの黄色い

直角三角形に囲まれていることがわかります。

    Pic_1000a

よって、青い正方形の面積は、外側の1辺6cmの正方形から

黄色い直角三角形4個の面積を除けばよく、

 6×6−1×5÷2×4=26cu となります。

(2)円と青い正方形に注目すると、下の図2のように

円の直径と青い正方形の対角線は等しいので、  

  Pic_1001a

(1)より、正方形の対角線×正方形の対角線÷2=26 で、

これは、円の直径×円の直径÷2=26 ということになり、

(円の半径×2)×(円の半径×2)÷2=26 から、

円の半径×円の半径=13 とわかるので、

円の面積=円の半径×円の半径×3.14=13×3.14

       =40.82 cu となります。

(3)下の図3のように、青い正方形の対角線によって4つの

部分に分けることができ、それぞれ同じ面積です。

 このうち1つの部分を図3のように六角形OABCDE とします。

Pic_1002a_2

三角形CDE は(1)より直角二等辺三角形なので、

角DCE=45度で、対頂角により角ACB=45度となるので、

三角形ABC も直角二等辺三角形です。

求める緑の部分の面積は、下の図4のように、

三角形ABC+三角形ADE+三角形OAE−扇形OAE

として求めることができ、

Pic_1003a

三角形ABCの面積は、

 AC=4cm なので、4×4÷2÷2=4cu

三角形ADEの面積は、1×5÷2=2.5cu

三角形OAEの面積は、

 青い正方形の4分の1で、26÷4=6.5cu

扇形OAEの面積は、 円の面積の4分の1で、

 40.82÷4 ← あとで4倍するのでそのまま

よって、緑の部分の面積の合計は、

(4+2.5+6.5−40.82÷4)×4=13×4−40.82

11.18 cu となります。

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1000題の中学受験算数解法集