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下の図は、ある立体の展開図で、直角二等辺三角形と、半円、長方形でできています。

  Pic_1914q

図において、

AB=AC=BD=CE=DF=GI=HJ=JK=2cm、

EG=FH=4cmです。

この立体について、次の問に答えなさい。

(1)この立体の体積は何立方cmですか。

(2)この立体をB,C,I,Kを通る面で切ったとき、点Fを含む方の立体の体積何立方cmですか。

(3)この立体をD,E,G,Jを通る面で切ったとき、点Fを含む方の立体の体積は何立方cmですか。

なお、角すいの体積は、底面積×高さ÷3で求められます。

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こたえ

(1)展開図を組み立てると、下の図1の立体になります。

  Pic_1915a

この立体は、三角柱BMK−FNH と、直方体ABFE−LKHG と、

半円柱2つ(合わせると円柱) から構成されており、

立体の体積は、

 三角柱BMK−FNH :4×4÷2÷2×4=16立法cm

 直方体ABFE−LKHG :2×4×4=32立法cm

 円柱:1×1×3.14×4=12.56立法cm より、

 16+32+12.56=60.56立法cm と求められます。

 

 (2)B,C,I,Kを通る面は、下の図2のようになりますが、

  Pic_1916a

B,C,I,Kを通る面で立体を切ると、下の図3のように

      Pic_1917a

点C,Eを含む半円柱も切断されることを見落とさないように

注意しましょう。

 

この面で切断すると、点Fを含む方の立体の体積は、

全体から図3の青い部分の立体の体積を除けば求められ、

  60.56−{2×2÷2×4+1×1×3.14÷2×4

               +(1×1×3.14÷4−1×1÷2)×4}

=60.56−15.42

45.14立法cm となります。

 

 (3)D,E,G,Jを通る面は、下の図4のようになります。

  Pic_1918a

図4からもわかるように、この平面は三角柱BMK−FNHを

切断します。 ここで、三角形BMKは直角二等辺三角形で、

下の図5のように、

       Pic_1919a_2

MからBKに垂線MPを下ろすと、BK=4cmなので、

BP=MP=PK=2cmとなり、 下の図6のように、

    Pic_1920a_2

D,E,G,Jを通る平面は、点Mを通ることがわかります。

 

したがって、D,E,G,Jを通る面で立体を切ったとき、

点Fを含む立体の体積は、下の図7のように

  Pic_1921a

三角柱DEF−JGH と

三角柱BMK−FNH から 四角すいM−BKJD を除いた立体

の和で求めることができ、

 三角柱DEF−JGH : 2×2÷2×4=8立法cm

 三角柱BMK−FNH : 16立法cm

 四角すいM−BKJD : 底面が長方形BKJD、高さMP より、

                2×4×2÷3=16/3 立法cm

 

求める体積=8+16−16/3=56/3=18と2/3(立法cm) です。 

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