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次のように、1より小さく、もうこれ以上約分できない分数がある規則に従って並んでいます。

  Pic_2908q

 

(1)20番目の分数を答なさい。

(2)7/11 は初めから数えて何番目ですか。

(3)分子と分母の数の和が105である分数は何個出てきますか。

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こたえ

(1)まず、分数がどのような規則に従ってならんでいるのか

というと、分母の数が小さい順に、

これ以上約分できない分数が並んでいることがわかります。

 

1/7が12番目で、分母が「7」のものは、

6/7まで約分できるものはないので、1/8が18番目になります。

よって、20番目の分数は、5/8 です。(19番目が3/8)

(2)5/8 から7/11 まで考えると、

分母が「8」のものは、分子が 5,7 があります。

分母が「9」のものは、分子が 1,2,4,5,7,8 があります。

分母が「10」のものは、分子が1,3,7,9 があります。

分母が「11」のものは、分子が1,2,3,4,5,6,7 があります。

合計19個あります。

よって、5/8が20番目なので、

7/11は20+(19−1)=38番目 です。

 

(3)分子と分母の数の和が105である分数は、

1/104、2/103、3/102、・・・、51/54、52/53 まで、

52個あります。

 

この52個から、3/102のように、

約分できるものを除かなければなりません。

分子、分母は、一方が奇数の場合、

もう一方は偶数となっています。

3/102、4/101、5/100、6/99、7/98、8/97、9/96、・・・

と調べると、約分できるものは、

分子が3,5,7の倍数のものということがわかります。

(105=3×5×7)

 

52までに3,5,7の倍数が何個あるかというと、

 3の倍数 ・・・ 17個

 5の倍数 ・・・ 10個

 7の倍数 ・・・ 7個

 3,5の倍数(15の倍数)・・・3個

 5,7の倍数(35の倍数)・・・1個

 3,7の倍数(21の倍数)・・・2個

 3,5,7の倍数(105の倍数)・・・0個

なので、下の図1のように

  Pic_2909a

 12+3+2+6+1+4=28個

なので、分子と分母の数の和が105である分数は

 52−28=24個 です。

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