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下の図1のように半径10cm、中心角90度の扇形AOB があり、扇形の曲線AB を3等分した点を、Aに近い方からC,D とします。

このとき、次の問に答えなさい。

      Pic_3245q

(1)下の図2のように点A と点C を直線で結んだときにできる【 ア 】の部分の面積を求めなさい。

      Pic_3246q

(2)下の図3のように、OAの真ん中の点E と点D を結び、点Oと点C を直線で結んでできる【 イ 】の部分の面積と【 ウ 】の部分の面積を比べたとき、どちらの面積の方が大きいか、説明しなさい。

      Pic_3247q

(3)下の図4のように点A と点C を結んだ直線の延長上にAF=10cm となる点F をとり、点F と点D を結んだ直線の延長線とOB との交点をG とするとき、角BGD の大きさを求めなさい。

      Pic_3248q

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こたえ

(1)扇形の弧を3等分した点と中心Oを結ぶと、中心角も

3等分され、角AOC=角COD=角DOB=30°となります。

 

下の図5のように、点C からOAに垂線CHを引くと、

       Pic_3249a_2

三角形OCH は30°、60°、90°の直角三角形で、

OC=10cm なので、CH=5cm とわかり、三角形OAC の面積は

    10×5÷2=25cu

です。

 

よって、【 ア 】の面積は、

     10×10×3.14×30/360−25=1と1/6(cu)

と求められます。

 

 (2)まず、下の図6の三角形DOE に注目すると、

DO=10cm、EO=5cm、角DOE=60°なので

三角形DOE は 30°、60°、90°の直角三角形です。

      Pic_3250a

すなわち、三角形DOEと三角形COHは合同です。

 

このことから、下の図7のように、【 イ 】、【 ウ 】の両方に

【 エ 】の部分の面積を加えて、比べると、

      Pic_3251a

直角三角形DOE の面積は、図6の直角三角形COHと等しく、

扇形CODの面積は扇形AOCに等しいことから、【 イ 】、【 ウ 】

それぞれに同じ面積の【 エ 】を加えて比べると

直角三角形を含むおうぎ形のほうが大きいので、

   【 イ 】 + 【 エ 】 < 【 ウ 】 + 【 エ 】

となり、

   【 イ 】 < 【 ウ 】

ということがわかります。

 

 (3)Oと点F を結ぶと、AO=AFより、三角形AOF は二等辺

三角形で、下の図8のように角AOF=角AFO=●、角FOG=■

角OFG=▲ とすると、

      Pic_3252a

角BGD=▲+■ です。

 

角OAF=(180−30)÷2=75°なので、

   ●=(180−75)÷2=52.5°とわかります。

よって、■=90−●=37.5°です。

 

次に、下の図9より、三角形AOD は、OA=OD,角AOD=60°

なので、正三角形で、AD=10cmです。

      Pic_3253a

よって、AD=AF=10cm なので、三角形ADF は二等辺三角形

とわかります。

 

角OAF=75°、角OAD=60°なので、

角DAF=75−60=15°で、

角AFD=(180−15)÷2=82.5°です。

 

図8の●+▲=82.5°で、●=52.5°より、

       ▲=82.5−52.5=30°です。

 

ゆえに、角BGD=▲+■=30+37.5=67.5°です。

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