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1、2、3の数字が書かれたカードがたくさんあり、次のように規則的にならべていきます。

@ A B @ @ A A B B @ @ @ A A ・・・

このとき、次の問に答えなさい。

(1)カードを20枚ならべたとき、ならべたカードに書かれた数の合計はいくつですか。

(2)カードを108枚ならべたとき、ならべたカードに書かれた数の合計はいくつですか。

(3)ならべたカードに書かれた数の合計が353のとき、ならべたカードの枚数は何枚ですか。

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こたえ

(1)ならべるカードの枚数の規則は、次のようになっています。

@          A      B       ・・・ 3枚

@ @       A A    B B    ・・・ 6枚

@ @ @    A A A B B B ・・・ 9枚 

@ @ @ @ ・・・

・・・以降、3の倍数の枚数が続きます。

3+6+9+2=20 で、上の表より、書かれている数の合計は、

1×(1+2+3+2)+2×(1+2+3)+3×(1+2+3)

=8+12+18

38 です。

(2)3+6+9+12+・・・+□の合計が108に近くなるような

□の値を調べます。

3+6+9+12+・・・+21=(3+21)×7÷2=84

3+6+9+12+・・・+24=84+24=108

となるので、@、A、Bのカード共に8枚ずつ並べ終わったとき、

カードの枚数は108枚になります。

よって、108枚ならべたとき、カードに書かれた数の合計は、

1+2+3+4+5+6+7+8=(1+8)×8÷2=36 より、

1×36+2×36+3×36=(1+2+3)×36=216 です。

(3)ならべたカードに書かれた数は、

次のような規則で求めることができます。

  

@       A      B       ・・・ 1+2+3=6

@ @    A A    B B    ・・・ (1+2+3)×2=12

@ @ @ A A A B B B ・・・ (1+2+3)×3=18 

・・・以降、6の倍数が続きます。

よって、

6+12+18+・・・+□ の合計が353に近い□を調べます。

すると、

6+12+18+・・・+60=(6+60)×10÷2=330

6+12+18+・・・+66=330+66=396 より、

@、A、Bを共に10枚ずつならべ終わったとき、

カードに書かれた数の合計が330で、次に@を11枚ならべると、

カードに書かれた数の合計は、330+11=341となり、

(353−341)÷2= 6枚のAをならべ終わると、カードに

書かれた数の合計が353になることがわかります。 

よって、ならべたカードの枚数は、

(1+2+・・・+10)×3+11+6=165+17=182枚

と求められます。

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1000題の中学受験算数解法集