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１、２、３の数字が書かれたカードがたくさんあり、次のように規則的にならべていきます。
① ② ③ ① ① ② ② ③ ③ ① ① ① ② ② ・・・
このとき、次の問に答えなさい。
（１）カードを２０枚ならべたとき、ならべたカードに書かれた数の合計はいくつですか。
（２）カードを１０８枚ならべたとき、ならべたカードに書かれた数の合計はいくつですか。
（３）ならべたカードに書かれた数の合計が３５３のとき、ならべたカードの枚数は何枚ですか。
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こたえ
（１）ならべるカードの枚数の規則は、次のようになっています。
① ② ③ ・・・ ３枚
① ① ② ② ③ ③ ・・・ ６枚
① ① ① ② ② ② ③ ③ ③ ・・・ ９枚
① ① ① ① ・・・
・・・以降、３の倍数の枚数が続きます。
３＋６＋９＋２＝２０ で、上の表より、書かれている数の合計は、
１×（１＋２＋３＋２）＋２×（１＋２＋３）＋３×（１＋２＋３）
＝８＋１２＋１８
＝３８ です。
（２）３＋６＋９＋１２＋・・・＋□の合計が１０８に近くなるような
□の値を調べます。
３＋６＋９＋１２＋・・・＋２１＝（３＋２１）×７÷２＝８４
３＋６＋９＋１２＋・・・＋２４＝８４＋２４＝１０８
となるので、①、②、③のカード共に８枚ずつ並べ終わったとき、
カードの枚数は１０８枚になります。
よって、１０８枚ならべたとき、カードに書かれた数の合計は、
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝（１＋８）×８÷２＝３６ より、
１×３６＋２×３６＋３×３６＝（１＋２＋３）×３６＝２１６ です。
（３）ならべたカードに書かれた数は、
次のような規則で求めることができます。
① ② ③ ・・・ １＋２＋３＝６
① ① ② ② ③ ③ ・・・ （１＋２＋３）×２＝１２
① ① ① ② ② ② ③ ③ ③ ・・・ （１＋２＋３）×３＝１８
・・・以降、６の倍数が続きます。
よって、
６＋１２＋１８＋・・・＋□ の合計が３５３に近い□を調べます。
すると、
６＋１２＋１８＋・・・＋６０＝（６＋６０）×１０÷２＝３３０
６＋１２＋１８＋・・・＋６６＝３３０＋６６＝３９６ より、
①、②、③を共に１０枚ずつならべ終わったとき、
カードに書かれた数の合計が３３０で、次に①を１１枚ならべると、
カードに書かれた数の合計は、３３０＋１１＝３４１となり、
（３５３－３４１）÷２＝ ６枚の②をならべ終わると、カードに
書かれた数の合計が３５３になることがわかります。
よって、ならべたカードの枚数は、
（１＋２＋・・・＋１０）×３＋１１＋６＝１６５＋１７＝１８２枚
と求められます。
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