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[ 1 ]、[ 2 ]、[ 3 ]、・・・、[ 176 ] の176枚のカードが、上からこの順になるように重ねてあります。一番上のカードを一番下に移し、見えたカードを一枚取り除きます。これをカードが最後の一枚になるまでくり返します。1回目は[ 1 ] を一番下に移し、[ 2 ] を取り除きます。2回目は[ 3 ] を一番下に移し、[ 4 ] を取り除きます。このとき、次の問に答えなさい。

(1)偶数が書かれたカードが全部取り除かれるのは何回目ですか。

(2)100回目に取り除かれるカードに書かれている数を答えなさい。

(3)最後の一枚のカードに書かれている数を答えなさい。

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こたえ

(1)1回に2枚が移動するので、最後の偶数[ 176 ] が取り除かれるのは、176÷2=88回目 です。

(2)88回終了した時点で、上から[ 1 ]、[ 3 ]、[ 5 ]、・・・、[ 175 ]

と、88枚の奇数が重ねられている状態になっています。

89回目から取り除かれるカードは、[ 3 ]、[ 7 ]、[ 11 ]、の順で、

【4の倍数−1】(または、4で割って3余る数)のカードが

取り除かれます。

100回目に取り除かれるカードは、

89回目を2周目の1回目とすると、

100回目は2周目の12回目で、12×4−1=[ 47 ] の

カードが取り除かれます。

(3)奇数の最後のカード[ 175 ] は4で割って3余るので、

2周目で取り除かれます。

[ 1 ]、[ 5 ]、[ 9 ]、[ 13 ]、・・・、[ 173 ] の

4で割って1余る数が残り、一番上に[ 1 ]がきています。

3周目に入り、[ 5 ]、[ 13 ]、[ 21 ]、・・・の順に、

8で割って5余る数が取り除かれていきます。

[ 173 ] も8で割って5余るので3周目で取り除かれます。

[ 1 ]、[ 9 ]、[ 17 ]、[ 25 ]、・・・、[ 169 ] の

8で割って1余る数が残り、一番上に[ 1 ]がきています。

4週目に入り、[ 9 ]、[ 25 ]、[ 41 ]、・・・の順に、

16で割って9余る数が取り除かれていきます。

[ 169 ] も16で割って9余るので4周目で取り除かれます。

[ 1 ]、[ 17 ]、[ 33 ]、[ 49 ]、・・・、[ 161 ] の

16で割って1余る数が残り、一番上に[ 1 ]がきています。

5周目に入り、[ 17 ]、[ 49 ]、・・・、の順に、

32で割って17余る数が取り除かれていきます。

[ 161 ] は32で割って1余るので、取り除かれません。

[ 1 ]、[ 33 ]、[ 65 ]、[ 97 ]、[ 129 ]、[ 161 ] が残ります。

一番上に[ 161 ]がきています。

次に取り除かれるのは、[ 1 ]、[ 65 ]、[ 129 ] で、

[ 33 ]、[ 97 ]、[ 161 ] が残ります。

一番上に[ 161 ]がきています。

次に取り除かれるのは、[ 33 ]、[ 161 ] で、

最後に残るのは [ 97 ] のカードです。

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