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正方形の紙に次のような操作を行います。

Pic_2732q

上の操作を1回と数え、操作を何回か続けて行います。操作を何回か続けて行ってできた正方形を下の図1のようにハサミで4つの同じ大きさの正方形に切り離してから、折られて重なっている紙は全て広げます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2733q

(1)操作を1回行ってからハサミで切り離し、広げると、どのような紙ができますか。下の図2に元となる正方形が描かれています。切れ目を線で示しなさい。なお、正方形の各辺は4等分されています。

          Pic_2734q

(2)操作を何回か続けて行ってからハサミで切り離し、広げると面積の異なる紙が何枚かずつできますが、そのうち一番大きい紙が1000枚以上ありました。操作を行った回数として考えられる最も小さい数を答えなさい。

(3)操作を何回か続けて行ってからハサミで切り離し、広げると一番大きい紙が10000枚以上ありました。このとき2番目に大きい紙は何枚できていますか。考えられる枚数のうち、最も小さい数を答えなさい。

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解法例

(1)図1の状態から、最初の状態へ戻すと、下の図3のように

なります。

  Pic_2735a_2

よって、図2の正方形に切れ目を線で描くと、下の図4のように

なります。

         Pic_2736a

 (2)1回の操作では、よくわからないので、何回か操作した場合

を試しに復元してみましょう。

 

  2回の操作をしたとすると、(1)と同様に元の正方形に

戻してみると、図4の状態から、さらに広げればよく、下の図5

のようになります。

 Pic_2737a_3

まん中に同じ大きさの正方形(黄色い部分)が9個 (3×3)

できました。

 

3回操作をしたと考えると、図5の最後の正方形を、

同様に開く作業をします。すると、

黄色い9個の正方形は4か所に広がり、

   9×4=36個 の黄色い正方形になり、

青い6(3×2)個の長方形は、それぞれ広がり、(3×2×2)

   黄色と同じ大きさの12個の正方形になり、

赤い1個の正方形は、大きさが×2×2=4倍になり、

   黄色と同じ大きさの1個の正方形になります。

結局、36+12+1=49個 の黄色い正方形ができます。

 

ここまで調べれば、

 1回の操作・・・1個の1番大きい正方形 (1×1)

 2回の操作・・・9個の1番大きい正方形 (3×3)

 3回の操作・・・49個の1番大きい正方形 (7×7)

という規則になっていることがわかりますね。

 4回目の操作では、

  49×4+7×2×2+1=225個 (15×15) 

となります。

 

 1 → 3 → 7 → 15 → ・・・ と、2,4,8、という順に

数が増えているので、次は、8×2=16増えて 31 です。 

   31×31=961個 なので、1000枚より少ないです。

31の次は、16×2=32増えて、63で、

   63×63=1000枚より多いです。

 

よって、1 → 3 → 7 → 15 → 31 → 63 より、

6回目の操作で1000枚以上となります。

 

 (3)63 → 127 で、127×127=10000枚以上 となります。

(100×100=10000なので) よって、行った操作は7回です。

枚数は、操作が増えるたびに増えていくので、最も少ないのは

この7回目の操作のときの枚数となります。

 

2番目に大きい紙は、図5の青い長方形のことで、7回の操作で

 127×4=508枚 できます。

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1000題の中学受験算数解法集