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面積が20cuの正三角形@があります。@の3辺の中点をそれぞれ結び、Aのように黒い正三角形を作ります。Aの白い3個の正三角形に、同様に中点を結んでBのようにします。この作業を繰り返したとき、次の問いに答えなさい。 

(1)E番目には、白い正三角形と黒い正三角形は何個になるか答えなさい。

(2)B番目の白い正三角形の部分の面積は、A番目のときの何倍になっているか答えなさい。

(3)白い正三角形の部分の面積が5cuより小さくなるのは何番目か答えなさい。

Pic_0147_2

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解法例

(1)白い正三角形の数は、「3」を「回数−1」回、掛けたもので

黒い正三角形の数は、「1回前の白と黒の合計」となっています。

Pic_0148

D回目の白は、3×3×3×3=81個、黒は27+13=40個

E回目の白は、81×3=243個、黒は、81+40=121個

(2)白い正三角形の部分の面積は、回を追うごとに3/4に

なっていっています。よって、3/4倍です。

(3)最初の正三角形の面積が20cuなので、

20×3/4×3/4×・・・と、3/4を何回か掛けていって、

5より小さくなるところを探します。

「5」ではわかりにくいので、両辺「5」で割って、

4×3/4×3/4×・・・と「1」の比較をします

4×3/4=3  1より大きい  (A)

4×3/4×3/4×3/4×3/4=81/64  1より大きい (D)

4×3/4×3/4×3/4×3/4×3/4=243/256 

 → 1より小さい (E)

よって、E番目に、白い正三角形の部分の面積は

5cuより小さくなります。

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1000題の中学受験算数解法集