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下の図は、長方形ABCD と直角三角形DCE を組み合わせた図形です。点アは、頂点A を出発して毎秒2cm の速さで辺ADを往復します。点イは、頂点B を出発して毎秒3cm の速さで辺BE を往復します。点ア、点イは同時に出発し、点ア と点イを結んでできる直線を、直線アイ と呼ぶことにします。このとき次の問に答えなさい。

   Pic_3515q

(1)直線アイ が辺AB と初めて平行になるのは、出発してから何秒後ですか。ただし、直線アイ と辺AB がぴったり重なる場合は除きます。

(2)直線アイが四角形ABED を1つの三角形 と 1つの四角形に分けるのは、出発してから2分後までに何回ありますか。

(3)長方形ABCD の対角線AC と対角線BD が交わる点をFとします。直線アイ が点F を1回目に通るのと、2回目に通るのは、それぞれ出発してから何秒後ですか。

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解法例

(1)点イの方が速く、点E に着くのは、24÷3=8秒後です。

8秒後の点アの位置は、2×8=16cm のところなので、

8秒後は下の図1のようになっています。

   Pic_3516a

点アから頂点D まで4cm、点イ から C まで4cm なので、

直線アイ が辺AB と平行になるのは、

1本道と考えて、アとイの出合う時間です(出合いの旅人算)。

道のりは4+4=8cm

アとイの速さの和は2+3=5cm/毎秒 なので、

(4+4)÷(2+3)=1.6秒後

です。(1.6秒後、まだ点ア は頂点D に着いていない)

よって、初めて直線アイ が辺AB と平行になるのは、

8+1.6=9.6秒後

とわかります。

(2)直線アイが四角形ABED を1つの三角形 と 1つの四角形

に分けるのは、

図1のようなときで、点ア、点イのどちらか一方

四角形ABED の頂点にいるときです。

点アは、20÷2=10秒ごと、

点イは、24÷3=8秒ごとに頂点に着きます。

120秒までには、点アは、120÷10=12回、

点イは、120÷8=15回 頂点に着きますが、

このうち、10 と 8 の公倍数の、40秒、80秒、120秒のときは、

2つの点の両方が頂点にいるので、

三角形と四角形に分けることはできません。

よって、点アは、12−3=9回、点イは、15−3=12回、

単独で頂点に着くので、三角形と四角形に分ける回数は、

出発してから 2分後までに、9+12=21回 あります。

 

(3)直線アイ が点F を通るのは、

直線アイ のまん中の点ウ の動きを調べればわかります。(点F がまん中の点なので)

図1のとき、下の図2のように、

点ウはちょうど辺CD のまん中に移動してきているので、

   Pic_3517a

8秒で、20cm移動したことがわかります。

点F は、辺AB から10cm の位置なので、

1回目に直線アイ が点F を通るのは、

8÷2=4秒後 とわかります。

次に、点アが頂点D に着く10秒後、

点イは、3×10=30cm移動しており、

点C 左に2cm移動したところにいます。

点ウはCDから1cm移動したところです。

点イが頂点B に戻るのが、16秒後で、そのとき点アは、

2×16=32 より、頂点A から8cmのところにいます。

点ウは、辺AB から 8÷2=4cm のところです。

下の図3のように移動することがわかり、

   Pic_3518a

点ウ は、6秒で15cm 移動するので、9cm移動するには、

6×9/15=3.6秒

かかります。

よって、2回目に直線アイ が点F を通るのは、

10+3.6=13.6秒後

です。

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