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的に球を当てると球の当たった的が落ちるゲームがあります。糸でつながっている的は、その上にある的に球が当たると上の的といっしょに落ちる仕掛けになっています。ただし、球は必ず1つの的に当たることとします。たとえば、下の図1では、すべての的を落とす方法は、A,B の順に当てる方法と、Bに当てる方法の2通りがあります。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3106q

(1)図2では、すべての的を落とす方法は何通りありますか。

(2)図3では、すべての的を落とす方法は何通りありますか。

(3)図4では、すべての的を落とす方法は何通りありますか。

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解法例

(1)図2の場合、1回ですべての的を落とす方法は、

Cに球を当てればよいです。

 

次に、2回ですべての的を落とす方法は、

 B → C の順に球を当てる

 A → C の順に球を当てる

の2通りがあります。

 

最後に、3回ですべての的を落とす方法は、

 A → B → C の順に球を当てる

ということになります。

 

よって、図2の場合、すべての的を落とす方法は、

 1+2+1=4通り

となります。

 

 (2)4個の的があるので、最大で4回、球を当てることになります。

図3の場合、左にあるAの的をどのように落とすかがポイントと

なります。

 

右の3つの的を落とす方法は、(1)で調べた通りです。

そこに、左のAの的の落とし方を加えて調べると、

 

2回ですべての的を落とす方法は、

 A → D の順に球を当てる

 D → A の順に球を当てる

の2通りがあります。

 

3回ですべての的を落とす方法は、

 (1)より、B → D 、C → D の2通りの順番のどこに A が

 入るかを考えて、1番目、2番目、3番目 の3通りがそれぞれ

 あります。

 A → B → D 、 B → A → D 、 B → D → A

 A → C → D 、 C → A → D 、 C → D → A

の、3×2=6通りがあります。

 

4回ですべての的を落とす方法は、

 (1)の B → C → D の順のどこにAが入るかで、

1番目、2番目、3番目、4番目の4通りが考えられます。

 

以上より、図3の場合、すべての的を落とす方法は、

 2+6+4=12通り

となります。

 

 (3)5個の的があるので、最大5回、球を当てる場合があり、

最小で2回、球を当てればすべての球が落ちます。

 

2回ですべての球を落とすには、

 B → E または E → B 

に当てる2通りの場合があります。

 

3回ですべての球を落とすには、次のような球の当て方があり、

 【A,B,E】に当てる場合 : A→B→E、A→E→B、E→A→B

 【B,C,E】に当てる場合 : B→C→E、C→B→E、C→E→B

 【B,D,E】に当てる場合 : B→D→E、D→B→E、D→E→B

の9通りの球を当てる順番が考えられます。

 

4回ですべての球を落とすには、

 【A,B,C,E】に当てる場合

 【A,B,D,E】に当てる場合

 【B,C,D,E】に当てる場合

の3通りの球の当て方があり、球を当てる順番は

 【A,B,C,E】に当てる場合

A→B→C→E、A→C→B→E、A→C→E→B、

C→E→A→B、C→A→B→E、C→A→E→B

 【A,B,D,E】に当てる場合 

  → 【A,B,C,E】の場合と同様に6通り

 【B,C,D,E】に当てる場合

C→D→E の順番のどこにBを入れるかで、4通り

 

以上より、4回ですべての球を落とすには、6+6+4=16通り

の球を落とす順番が考えられます。

 

5回ですべての球を落とすには、下から順に球を当てるので、

B→A→C→D→E、

B→C→A→D→E、B→C→D→A→E、B→C→D→E→A

C→D→E→B→A、C→D→B→A→E、C→D→B→E→A

C→B→A→D→E、C→B→D→A→E、C→B→D→E→A

の10通りの球を落とす順番が考えられます。

 

以上より、図4の的をすべて落とす方法は、

 2+9+16+10=37通り

となります。

どう解く?中学受験算数にもどる

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