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すべての辺の長さが1cmの三角すいA があります。下の図1のように、すべての辺の長さが2cmの三角すいから、A と同じ形の立体を4つ切り取ってできる立体をB とします。

Pic_3537q  

(1)立体B の体積は、三角すいA の体積の何倍ですか。

(2)三角すいA と立体B をすき間なく並べて、下の図2のようにすべての辺の長さが3cmの三角すいを作りました。3段目(一番下の段)には三角すいA と立体B がそれぞれ何個ありますか。

 Pic_3538q

(3)三角すいA と立体B をすき間なく並べて、下の図3のようにすべての辺の長さが 6cm の三角すいを作りました。図3の三角すいの中には、三角すいA と立体B がそれぞれ何個ありますか。

 Pic_3539q

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解法例

(1)三角すいA と1辺2cmの三角すいは相似で、

相似比が 1 : 2 より、体積比は、

1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8 で、

立体B は1辺2cmの三角すいから、4個の三角すいA を除くので、

1辺2cmの三角すいの体積を【8】とすると、立体Bの体積は

【8】−【1】×4個=【4】

となるので、立体B は三角すいA の4倍の体積とわかります。

 

(2)下の図4は、図2の三角すいを2段目と3段目の間で切って

3段目の上の面と底面を描いたものです。

Pic_3540a

図4の黄色い三角形で表したものは、三角すいA ですが、

3段目の上の面にはあって、下の面には見えていません。

(上から逆さまに突き刺さっている感じです)

 

図を描いて、このことに注意して数えると、

三角すいA は 7個、立体B は 3個

あることがわかります。

 

(3)Bの個数は、各段ごとに簡単に求められますが、

Aの個数がわかりにくいですね。

(Bは、1段目:0、2段目:1、3段目:1+2=3、

     4段目:1+2+3=6、・・・・ と求められます)

(2)より、

1段目・・・ A 1個

2段目・・・ A 3個  B 1個

3段目・・・ A 7個  B 3個

ここまで、わかります。4段目がどうなるか、です。

図4より、上の段が A だった場所は、次の段では B に変わり、

上の段が B だった場所は、次の段では A に変わることが

わかります。

さらに、A については、底面のAの個数を加えます。

つまり、4段目は、3段目で  B が3個あるので、A は3個 と

底面の 1+2+3+4=10 を加えて 13個 で、B の個数は

3段目の底面の A の個数で、6個です。 

 

5段目は、A は 4段目の B の個数の6個と、底面の

1+2+3+4+5=15 を加えて、21個 で、Bの個数は

4段目の底面の A の個数 で、10個です。

 

6段目は、A は5段目の B の個数 10個 と、底面の

1+2+3+4+5+6=21 を加えて、31個で、Bの個数は

5段目の底面の A の個数で、15個です。

 

よって、

    1段目・・・ A 1個

    2段目・・・ A 3個  B 1個

    3段目・・・ A 7個  B 3個

    4段目・・・ A 13個 B 6個

    5段目・・・ A 21個 B 10個

    6段目・・・ A 31個 B 15個

となっています。(A は、2,4,6,8,10 と増えています)

ゆえに、図3の立体には、

  A : 1+3+7+13+21+31=76個

  B : 1+3+6+10+15=35個

あることがわかります。

どう解く?中学受験算数にもどる

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