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下の図のように、角A、角B が直角の台形ABCD があります。この周の上を点P が D を出発し、毎秒2cmの速さでA,B を通って C まで動きます。このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3534q

(1)三角形PCD の面積が台形ABCD の面積の半分となるのは点P が D を出発してから何秒後と何秒後ですか。

(2)(1)の状態になるときに、点P がいる地点を順にS,T とし、辺CD上に点R をとるとき、三角形RST の面積を求めなさい。

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解法例

(1)台形ABCD の面積が、(20+60)×30÷2=1200cu

なので、半分の面積は 600cu です。

 

 三角形ACD の面積=20×30÷2=300cu

 三角形BCD の面積=60×30÷2=900cu

なので、三角形PCD の面積が台形の半分になるのは、

点P がAB 上 または BC上 にいるときとわかり、この2か所を

点S,T とすると、下の図2のように

  Pic_3535a

点S,T を通る直線L を引くと、三角形CDS と三角形CDT の

面積が等しいので、直線L と辺CD は平行になります。

(三角形の等積変形)

 

三角形CDT の面積=600cu なので、

  CT × 30 ÷2 = 600 

より、CT の長さ=40cm とわかります。

このことから、角CTD=90°とわかり、下の図2のようになり、

  Pic_3536a

三角形BTS と三角形TCD はすべての角度が等しくなるので

相似で、BT : CT = 1 : 2 より、BS=15cm です。

 

よって、点P が点S に移動するには、

   (15+20)÷2=17.5秒

点P が点T に移動するには、

   (20+30+20)÷2=35秒

かかるので、三角形PCD の面積が台形ABCD の半分になる

のは、17.5秒後 と 35秒後 です。

 

 (2)直線L と辺CD は平行なので、点R が辺CD 上のどこに

あっても、三角形RST の面積は一定で、その面積は三角形CST

と等しく、40×15÷2 = 300cu です。

どう解く?中学受験算数にもどる

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