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数字の2,3,5だけを使って

できる4けたの整数を小さいものから並べた数の列 

2222,2223,・・・,5555 について考えます。

(1)全部で何個ありますか。

(2)50番目の数は何ですか。

(3)8の倍数は何個ありますか。

(4)全部の数をかけると、1の位から0が何個連続して並びますか。

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解答

(1)樹形図で考えます。

Pic_0493

千の位、百の位、十の位、一の位、それぞれ2,3,5の3種類

が考えられるので、全部で3×3×3×3=81個 となります。

 

(2)千の位が2,3,5のものは、それぞれ81÷3=27個ずつ

あるので、3555が54番目です。

よって、50番目は、 

3555→3553→3552→3535→3533 より、3533 です。

 

(3)8の倍数になるには、4の倍数でなければならないので、

4の倍数の整数の判別は、下2けたが4の倍数ならば、その整数は

4の倍数となります。 さらに、8の倍数は下3けたが8の倍数なら

その整数は8の倍数となります。なぜかというと → こちら

下2けたが4の倍数になるには、32,52です。

百の位が2,3,5のときについて調べると、

232,332,532,252,352,552のうち、8の倍数は

232,352,552 の3つです。

千の位は2,3,5の3通りあるので、全部で3×3=9個 

となります。

(4)2×5=10なので、0が並ぶ数は2で割れる回数

(要は2の倍数の個数)と5で割れる回数(要は5の倍数の個数)の

どちらが多いかによって決まります。

5の倍数は1の位が5のもので、○○○5の形のものは、

○には2,3,5の3通りが入るので、3×3×3=27個

さらに25の倍数は、下2けたが00,25,50,75になるので、

この問題では、○○25 が考えられます。

○には、やはり2,3,5の3通りが入るので、3×3=9個

そして5×5×5=125の倍数で2,3,5で作られるものは

225,325,525がどれも125の倍数ではないので、ありません。

5×5×5×5=625の倍数も、125の倍数がないので、

ありません。

よって、5で割れる回数は27+9=36個となります。

次に2の倍数は、○○○2が考えられ、3×3×3=27個あります。

次に4の倍数を考えますが、その前に(3)で8の倍数を数えたので

8の倍数が9個あるので、8=2×2×2 より、2で1回割った後、

さらに2回割れるので、9個×2=18回、2で割れることになり、

この時点で27+18=45で、5で割れる回数を上回りました。

よって、5で割れる回数の方が少ないので、

0が連続して並ぶ個数は、5で割れる回数と等しく、36個 です。

  

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