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2ケタの整数 AB があります。間に 0 を入れて 3ケタの整数 A0B を作ると、この数は AB で割り切れます。また、両端と間に数字 C を入れて5ケタの整数 CACBC を作ると、この数も AB で割り切れます。このとき、5ケタの整数 CACBC を答えなさい。ただし、A,B,C はすべて異なる数字で、どれも 0 ではないものとします。

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解答

A0B が AB の倍数のとき、AB × 10 = AB0 の方が A0B より

大きく、 AB0−A0B の引き算で得られる数も AB の倍数です。

この引き算で得られる数は、A の値に関係なく、Bの値のみにより

決まり、そのときの AB について考えると、

 B=1のとき、9  → 約数に2ケタのものはない

 B=2のとき、18 → 約数に2ケタで1の位が2のものはない

 B=3のとき、27 → 約数に2ケタで1の位が3のものはない

 B=4のとき、36 → 約数に2ケタで1の位が4のものはない

 B=5のとき、45 → 約数で2ケタで1の位が5のものは

               15、45

 B=6のとき、54 → 約数に2ケタで1の位が6のものはない

 B=7のとき、63 → 約数に2ケタで1の位が7のものはない

 B=8のとき、72 → 約数で2ケタで1の位が8のものは 18

 B=9のとき、81 → 約数に2ケタで1の位が9のものはない

以上より、AB として考えられる数は、15、45、18 となります。

 

次に、CACBC について考えます。

A0B が AB の倍数なので、A0B × 10 = A0B0 も AB の

倍数ということになり、

   CACBC − A0B0 = C0C0C

も ABの倍数です。

 

AB=15 のとき、15の倍数の1の位は、必ず 5または0 なので

C は 0ではないので、C=5 となります。しかし、B=C=5 となり

A,B,C がすべて異なる数であることに反しますので、AB≠15

となります。

 

同様に、AB=45のときも、B=C=5となり、AB≠45 で、

AB=18 だけが残ります。

 

C0C0C が 18の倍数になるものを考えます。

18の倍数は、偶数で、

9の倍数です。

9の倍数は、各ケタの数を足すと9の倍数になる性質があり、

この場合、C+C+C=9の倍数 で、C=3,6,9 になりますが、

18の倍数になるのは、偶数の6だけで、C=6 です。

 

よって、CACBC=61686 です。(61686÷18=3427)

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