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下の図で、四角形ABCD は長方形です。三角形AQP と三角形BRQは合同で、三角形DPT と三角形CTS は合同な直角二等辺三角形です。また、点X,Y がそれぞれQR,PT上にあり、直線PX,XY は五角形PQRST の面積を3等分しています。このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3496q

(1)五角形PQRST の面積を求めなさい。

(2)QX とXR の長さの比を求めなさい。

(3)PY と YT の長さの比を求めなさい。

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解法例

(1)BQ=4cm、BR=2cm なので、長方形ABCD の面積は

6×7=42cu です。

三角形AQP、三角形BRQ の面積は、4×2÷2=4cu

三角形DPT、三角形CTS の面積は、3×3÷2=4.5cu

なので、五角形PQRSTの面積は、

42−(4×2+4.5×2)=25cu

と求められます。

 

(2)(1)より、三角形PQX の面積は、25/3 cu です。

QX と XRの長さの比は、

三角形PQX と三角形PRX の面積の比と等しく、

三角形PRX の面積は、下の図1のように、

台形ABRPから、わかっている部分の面積を除けばよく、

  Pic_3497a

(2+4)×6÷2 − (4+4+25/3)=5/3 cu 

とわかります。

よって、QX : XR = 25/3 : 5/3 = 5 : 1 です。

 

(3)PY : YT は、下の図2のように

三角形PYX と三角形TYX の面積の比 に等しくなります。

 Pic_3498a

三角形TYX の面積を求めるには、五角形RSTYX の面積から

四角形RSTX の面積を除けばよいです。

四角形RSTX の面積は、下の図3のように三角形RTX と

三角形RST に分けて考えることができ、

 Pic_3499a

三角形RST の面積は、2×3÷2=3cu です。

三角形RTX の面積は、下の図4のように三角形QRT を

5:1 に分ければよく、

 Pic_3500a_2

三角形QRT の面積は、台形BCTQ から、三角形BRQと

三角形CTR の面積を除いたもので、

(3+4)×7÷2−(4+7.5)=13cu

なので、三角形RTX の面積は、

13÷6=13/6cu です。

よって、三角形TYX の面積は、

25/3 − ( 3 + 13/6 ) = 19/6cu  です。

 

ゆえに、PY : YT = 25/3 : 19/6 = 50 : 19

と求められます。

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