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ある数に対して、次のような操作を行います。

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その数が、

ア : 1ケタのとき、その数に同じ数をかける

イ : 2ケタのとき、

(十の位の数)×(十の位の数)

         +(一の位の数)×(一の位の数)を計算する

ウ : 3ケタのとき、

(百の位の数)×(百の位の数)

         +(十の位の数)×(十の位の数)

         +(一の位の数)×(一の位の数)を計算する

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上の操作を1回と数え、操作の結果できた数に対して、

この操作をくり返し行います。

たとえば、最初の数が「5」のとき、

1回目の操作 : 5×5=25

2回目の操作 : 2×2+5×5=29

3回目の操作 : 2×2+9×9=85

となります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)最初の数が「4」のとき、10回目の操作の結果を答えなさい。

(2)最初の数が「3」のとき、200回目の操作の結果を答えなさい。

(3)最初の数が「2」から「9」までのいずれかの整数のとき、1回目から2002回目までの操作の結果に出てくる2002個の数の合計について考えます。この合計が最も小さくなるのは、最初の数がいくつのときですか。

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解法例

(1)「4」について、与えられた操作をしてみましょう。

【1回目】 4×4=16

【2回目】 1×1+6×6=37

【3回目】 3×3+7×7=58

【4回目】 5×5+8×8=89

【5回目】 8×8+9×9=145

【6回目】 1×1+4×4+5×5=42

【7回目】 4×4+2×2=20

【8回目】 2×2+0×0=4(=最初の数

【9回目】  = 【1回目】 = 16

【10回目】 = 【2回目】 = 37

 

 (2)(1)で、最初の数が「4」の場合、【8回目】で最初の数に

戻ることがわかりました。「3」の場合でも同様に最初の数に

戻ることがあるのではないかと期待できますね。

 

(1)と同様に調べてみましょう。

【1回目】 3×3=9

【2回目】 9×9=81

【3回目】 8×8+1×1=65

【4回目】 6×6+5×5=61

【5回目】 6×6+1×1=37 ← 「4」の【2回目】で登場 

 

期待に反して、【5回目】に「4」の【2回目】で出てきた「37」が

出てきました。これ以降は、下の図1のように、「4」と同じことが

くり返されることがわかります。

   Pic_2383a

5回目以降は、37〜16の8個のくり返しなので、

200回目の操作の結果が、8個のうちのどれか調べると、

      (200−4)÷8=24あまり4

なので、4番目の「145」とわかります。

 

 (3)(1)、(2)より、「2」から「9」までの整数が、どれも

「4」のときの8個のくり返しにたどりつくのではないかと

想像できます。

 

「2」のとき、

【1回目】 2×2=4 → 「4」に結びつきます。

 

「5」のとき、

【1回目】 5×5=25

【2回目】 2×2+5×5=29

【3回目】 2×2+9×9=85 → 「4」の【3回目】

【4回目】 8×8+5×5=89 → 「4」の【4回目】

 

「6」のとき

【1回目】 6×6=36

【2回目】 3×3+6×6=45

【3回目】 4×4+5×5=41

【4回目】 4×4+1×1=17

【5回目】 1×1+7×7=50

【6回目】 5×5+0×0=25 → 「5」の1回目

【7回目】 「5」の2回目

【8回目】 「5」の3回目=「4」の3回目

 

「7」のとき、

【1回目】 7×7=49

【2回目】 4×4+9×9=97

【3回目】 9×9+7×7=130

【4回目】 1×1+3×3+0×0=10

【5回目】 1×1+0×0=1

【6回目】 1×1=1 → 以降ずっと「1」

 

「8」のとき、

【1回目】 8×8=64

【2回目】 6×6+4×4=52 =「5」の【2回目】

【3回目】 5×5+2×2=29 =「4」の【3回目】 

 

「9」のとき → 「3」の【1回目】

 

以上のことから、5回目以降ずっと「1」の「」が最初の数のとき、

2002個の数の合計は最も小さくなることがわかりますね。

 

根気強く取り組めば答えにたどり着く問題でした。

どう解く?中学受験算数にもどる

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