下の図のような直角二等辺三角形ABC を直線L を軸として1回転させた立体をP,直線M を軸として1回転させた立体をQ としたとき、P と Q 、どちらの体積が 何c? 大きいですか。

 Pic_3439q

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こたえ

円周率3.14は最後まで計算しないで考えていきます。

下の図1のように、Aから直線Lに垂線を下ろし、

交点をD とすると、AD=BD=CD=3cm となります。

 Pic_3440a

立体P の体積は、直線L の周りに三角形ACD を

1回転させたものの2倍になるので、

3×3×3.14×3÷3×2=18×3.14立方cm

となります。

一方、立体Q は、下の図2のように CA を伸ばし、

直線Mとの交点を E とすると、BE=BC=6cm で、

 Pic_3441a

直線Mの周りに三角形BCE を1回転させたものから

三角形ABE を1回転させたものを除いたものが立体Q で、

三角形ABE を直線Mの周りに1回転させたものは、

直線L の周りに三角形ABC を1回転させたものと同じ なので

立体Q の体積は、

6×6×3.14×6÷3−18×3.14

=54×3.14立方cm

となります。

立体P と 立体Q の体積の差は

54×3.14−18×3.14

=36×3.14

=113.04立方cm

です。

 

よって、立体 の方が 113.04立方cm 大きいです。

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