下の図1、図2のような1辺の長さが4cmの正方形のタイルが何枚もあります。図1のタイルには正方形の対角線が1本、太線で引かれており、図2のタイルには円周を4等分したものが太線で引かれています。このタイルを次のルールに従って並べます。

【ルール】

図1、図2のタイルを合わせて4枚使い、たてに2枚、横に2枚並べます。このとき、図1、図2のタイルを何枚ずつ使ってもよく、また、タイルを自由に回転させてもよいが、それぞれのタイルの ●印 同士が必ずつながるように並べます。

下の図3は、上の【ルール】に従って並べた例です。

  Pic_3405q

(1)上の図3の太線で囲まれてできる色のついた部分の面積を求めなさい。

(2)この【ルール】に従ってタイルを並べ、タイルの太線で囲まれてできる図形のうち、最も面積が大きい図形と、最も面積が小さい図形の面積の差を求めなさい。

(3)この【ルール】に従ってタイルを並べ、タイルの太線で囲まれてできる図形の面積は、全部で何通りありますか。

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こたえ

(1)求める面積のうち、下の図4の黄色い部分は同じ面積で、

          Pic_3406a

求める面積はタイル2枚分になり、4×4×2=32cu です。

(2)最も面積が大きい図形は、下の図5のように円になるときで、

最も面積が小さい図形は、下の図6のようなときです。

  Pic_3407a_2

図5の図形と図6の図形の面積の差は、

【木の葉形】と呼ばれる図形4個分になり、

(4×4×3.14×90/360×2 − 4×4)×4

=4×4×0.57×4

36.48cu

と求められます。

(3)下の図7のように、タイルに@〜Cの番号をつけると

        Pic_3408a

1つのタイルが作れる形は 3通りあるので、

タイルの太線で囲まれてできる図形の面積は、

3×3×3×3=81通り

とすると、間違いです。(回転させて同じものを含んでしまう)

 

タイルの太線で囲まれてできる図形の面積は、

下の図8のように、面積の最も大きい図5の円のものから、

タイルを1個ずつ変形して、最も小さい図6の図形まで

月の満ち欠けのように表すことができ、

Pic_3409a

全部で 9通り の面積があることがわかります。

全部で 9通り の面積があることがわかります。

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