3つの正方形の紙を重ねたところ、下の図1のようになりました。ただし、図1の角はすべて直角です。

Pic_3388q

(1)正方形の紙が3枚とも重なっている部分の面積を求めなさい。

(2)正方形の紙が2枚以上重なっている部分の面積を求めなさい。

立方体を使って、下の図2のように地面に穴をあけます。穴をあけるときは立方体を図2のように地表まで地面にうめ、取り出すものとします。

Pic_3389q

(3)3種類の立方体を1つずつ順番に使って穴をあけたところ、できた穴を上から見ると図1のようになりました。この穴の容積を求めなさい。

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こたえ

(1)3つの正方形の重なりは、下の図3のようになっています。

Pic_3390a

図3で、左から1つ目、2つ目、3つ目の正方形の1辺の長さが

13cm、□cm、△cm となっていて、3つの正方形が重なって

いる部分は青い部分です。

□と△の値を求めると、図の縦と横の長さの関係から、

   7+□+4=13+8

   13+3=1+△+3

より、□=10cm、△=12cm とわかります。

よって、3つの正方形が重なっている青い部分の

たて(A)と横(B)の長さは、下の図4より、

   Pic_3391a

A+3=10、B+8=12 より、A=7cm、B=4cm

となるので、青い部分の面積=7×4=28cu です。

(2)正方形の紙が2枚以上重なっている部分は、下の図5

の色のついた部分です。

   Pic_3392a

この面積は、

  3つの長方形(7cm×6cm、10cm×4cm、9cm×8cm)が

  重なっていると考えることができ、3つの長方形の面積の和から

  青い長方形が3回重なっているので、青い長方形の面積2個分

  を除けばもとめることができ、

   (7×6+10×4+9×8)−7×4×2=98cu

となります。

(3)下の図6は、

    Pic_3393a

 青い部分は、深さが13cm

 赤い部分は、深さが12cm

 緑の部分は、深さが10cm

となっています。

 青い部分の面積=13×13=169cu

 赤い部分の面積=12×12−10×4=104cu

 緑の部分の面積=10×10−(9×8+7×2)=14cu

なので、求める容積は、

 169×13+104×12+14×10=2197+1248+140

                       =3585c?

となります。

 

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