1辺の長さが10cmの正方形4枚でできている図1のようなタイルA と、1辺の長さが10cmの正方形5枚でできている図2のようなタイルBがあります。タイルAは1枚300円、タイルBは1枚400円です。このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_1472q

(1)タイルA だけを使って作ることのできる長方形のなかで、面積の一番小さいもののうち、長い方の辺の長さを答えなさい。

(2) (1)で作った長方形のタイルをC、タイルA とタイルBをそれぞれ2枚ずつ使って作った長方形のタイルをDとし、CとDを組み合わせて、たて1.2m、横2.3mの長方形の床にすき間なくタイルをはりつけます。タイルA,Bがたくさんあるとき、かかる費用が一番安くなるのはA,Bそれぞれ何枚使うときですか。

(3) (2)のとき、A,Bがそれぞれ50枚ずつしかないとき、かかる費用が一番安くなるのは、いくらですか。 

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こたえ

(1)タイルAだけを使って作ることのできる長方形の中で、

面積の一番小さいものは、タイルAを2枚使って作れる

下の図3のような長方形です。 

        Pic_1473a

図3の長い方の辺の長さは、10×4=40cmです。

(2) 図3の長方形がタイルC で、1辺の長さが40cmと20cm、

値段は300×2=600円です。

タイルA2枚、タイルB2枚で作れる長方形Dの形は、下の図4の

ようになり、

     Pic_1474a_2

1辺の長さは、30cmと60cmで、値段は

 (300+400)×2=1400円です。

たて120cm、よこ230cmの面積にタイルをしきつめるとき、

タイルの枚数は何通りか考えられそうですが、変わらないのは

その面積です。

タイルをしきつめる面積は、120×230=27600cu で、

タイルCの面積は、800cu、タイルDの面積は1800cu なので、

タイルCを□枚、タイルDを○枚使うとすると、下の図5のように

考えることができます。

     Pic_1475a

すなわち、800×□+1800×○=27600 ということです。

この式をさらに簡単にすると、

 8×□+18×○=276 → 4×□+9×○=138 です。

この式にあてはまる(□、○)の整数の組を調べます。

4×□+9×○=138 で、9×15=135なので、

○は15以下の整数で、式から○は偶数であることがわかります。

(奇数×奇数=奇数、4×□=偶数、奇数+偶数=奇数なので)

14,12,10,8,6,4,2 の場合について調べればよく、

 ○=14のとき、4×□=138−126=12より、□=3

 ○=12のとき、4×□=138−108=30より、不成立

 ○=10のとき、4×□=138−90=48より、□=12

 ○=8のとき、4×□=138−72=66より、不成立

 ○=6のとき、4×□=138−54=84より、□=21

 ○=4のとき、4×□=138−36=102より、不成立

 ○=2のとき、4×□=138−18=120より、□=30

 

タイルをしきつめられるのは、

 @:C=3枚、D=14枚

 A:C=12枚、D=10枚

 B:C=21枚、D=6枚

 C:C=30枚、D=2枚 

のときで、C:600円、D:1400円なので、それぞれの値段は、

 @:3×600+14×1400=21400円

 A:12×600+10×1400=21200円

 B:21×600+6×1400=21000円

 C:30×600+2×1400=20800円 

となり、200円ずつ安くなり、一番安くなるのはCのときで、

C(A2枚)が30枚、D(A2枚、B2枚)が2枚なので、

使われたタイルA,Bの枚数は、

 A:2×30+2×2=64枚

 B:2×2=4枚

となります。

(3) A50枚、B50枚しかないとき、(2)の条件ではできません。

(2)のB、A、@の順(安い順)にA,Bの枚数を調べると、

 B:Aは、21×2+2×6=54枚 → 作れない

 A:Aは、12×2+2×10=44枚

   Bは、2×10=20枚 → 作れる

よって、費用が一番安くなるのは、(2)のAのときで、

  21200円です。

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