Pic_1124q

正三角形の半分の直角三角形OABがあり、OAの長さは10cmです。辺OBを斜辺として、三角形OABと相似な直角三角形OBCを並べます。さらに相似な直角三角形OCDを並べ、この作業をくり返します。このとき、次の問に答えなさい。

(1)OCの長さを求めなさい。

(2)三角形OABを1番目としたとき、9番目の直角三角形の辺のうち、最も短い辺の長さを求めなさい。

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こたえ

(1)BからOAに垂線BPを下ろすと、下の図1のように

        Pic_1125a

三角形OBPと三角形OBCは合同で、OC=OPとなります。

ここで、三角形OABと三角形BAPが相似で、

OA:AB=2:1より

AB=5cm、AP=5÷2=2.5cm とわかるので、

OP=OC=10−2.5=7.5cm と求められます。

 

(2)OC=7.5cm なので、CD=7.5÷2=3.75cm です。

相似な図形が並ぶので、図1のAの位置にCをもってくると、

図2のようになります。

       Pic_1126a

図1と図2は相似で、AB:CD=CD:EF となり、

AB:CD=5:3.75=4:3 より、

3番目→CD=AB×3/4

5番目→EF=CD×3/4  となります。

9番目の三角形の最も短い辺の長さは、

AB×3/4×3/4×3/4×3/4

=5×81/256

=405/256 cm

1と149/256 cm と求められます。

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