下の図のように、1辺の長さが 2cm の正方形ABCD があり、点E,Fはそれぞれ辺AB,BC を2等分する点です。直線DFと直線AF の交点をG,直線BD と直線AF の交点をH とするとき次の面積を求めなさい。

    Pic_3306q

(1)三角形HBF の面積

(2)四角形GEBH の面積

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こたえ

(1)三角形AHD と三角形FBH が相似で、

AD:BF=2:1なので、相似比が 2:1 とわかります。

よって、AH : HF = DH : HB = 2 : 1 なので、

下の図1のように、各三角形の面積比がわかり、

    Pic_3307a

三角形HBF : 三角形HAB : 三角形HAD = 1:2:4 です。

三角形ABD の面積 = 2×2÷2 = 2cu なので、

三角形HBF の面積 = 2÷6=1/3cu

と求められます。

 

(2)下の図2のように、辺ABと平行に線F I を引き、

DE との交点を J とします。

    Pic_3308a

I J の長さは、AE の長さの半分で、0.5cmです。

次に、三角形AEG と三角形FJG が相似で、

AE=1cm、JF=1.5cm なので、相似比 = 2 : 3とわかり、

AG : GF = 2 : 3 ということです。

下の図3のような長さの比になり、

  Pic_3309a

比を合わせると、AG : GH : HF = 6 : 4 : 5となり、

下の図4のように、

   Pic_3310a_2

各三角形の面積比は、

三角形AEG : 三角形BEG : 三角形BGH = 3 : 3 : 4

とわかります。

(1)より、三角形ABHの面積 = 1/3 × 2 = 2/3cuなので、

四角形GEBHの面積 = 2/3 × 7/10 = 7/15cu

と求められます。

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