たくさんのマス目に、ある規則に従って 1から400 までの整数を書き入れていきます。1回目は下の図1のように書き入れました。それを消して、2回目は下の図2のように書き入れました。整数が2回とも書き入れられたマス目は全部で何個ありますか。

 Pic_3263q

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こたえ

図1の書き入れ方をすると、400=20×20 なので、

たて20マス、よこ20マスの正方形の範囲に

整数を書き入れることになります。

図2の書き入れ方をすると、

下の図3のように一番下の1列は、

 Pic_3264a

 1+2=3

 1+2+3=6

 1+2+3+4=10

 1+2+3+4+5=15 

のように、横に何個まで並んだかがわかります。

ここで、

1+2+3+・・・+□=400に最も近い数となる□を考えます。

1+2+3+・・・+20=(1+20)×20÷2=210

1+2+3+・・・+30=(1+30)×30÷2=465

465−(30+29)=406 で、406−28=378なので、

下の図4のようになっていることがわかります。

Pic_3265a_2

したがって、図1と図2の重なりは図5のようになり、

  Pic_3266a

最後の数【400】は、図5の青い部分にあることがわかります。

なぜなら、青い部分の最後【406】から戻って6番目なので、

よって、図1と図2で2回とも整数が書き入れられたマスは

下の図6の紫の部分です。

図2の整数の書き入れ方が直角二等辺三角形の形なので、

図6のような個数になります。

  Pic_3267a

この紫の部分のマス目の数は、

正方形から灰色の部分を除けばいいのですが、

20×20−11×11÷2 ・・・ と、計算しないように注意!

11×11の灰色の直角二等辺三角形の部分にあるマス目は、

1+2+3+・・・+11=(1+11)×11÷2=66個 

と計算します。

なので、2回書き入れられたマス目は、

400−66=334個

となります。

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