ボールが48個あります。これらのボールを以下の条件1,2にあてはまるように、5つの箱に入れることにします。

【条件1】 どの箱にもボールを5個以上入れる

【条件2】 どの2つの箱についても、入っているボールの数の公約数は、1だけです。

このとき、5つの箱に入っているボールの数の組をすべて答えなさい。答えは、箱に入っている数が小さいものから順に書きなさい。また、解答欄は8組ありますが、すべて使うとはかぎりません。

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こたえ

まず、ボールが48個あり、箱が5個あることから、

箱に入るボールに関して、偶数か奇数か考えると、

偶数+奇数+奇数+奇数+奇数 となります。

なぜなら、

すべて奇数では、合計も奇数になるので不適切、

偶数は2箱以上あると、公約数【2】が現れるので、偶数は1つ。

偶数@+奇数@+奇数A+奇数B+奇数C について、

48という制限を考えずに、小さい順に考えると、

5+6+7+11+13=42 となります。(9は、6と公約数【3】)

あと6足りないので、6増やすと、

6+6=12、11+6=17、13+6=19 に代えると

条件を満たします。よって、

5,7,11,12,13)、(5,6,7,13,17

5,6,7,11,19

が考えられます。

ここまで、1つしかない偶数を【6】として考えてきましたが、

これを他の偶数にして考えていきます。

【8】をにすると、

5+7+8+9+11=40 が最小なので、

あと8足りません。8増やせるのは、

5+8 → 13

7+8 → 15 → 9と15は共に3の倍数なので、×

8+8 → 16

9+8 → 17

11+8 → 19

以上より、

7,8,9,11,13)、(5,7,9,11,16

5,7,8,11,17)、(5,7,8,9,19

が考えられます。

次に【10】にすると、

5+7+9+10+ → 5と10は公約数【5】となるので×

7+9+10+11+13=50 となるので、48になりません。

次に【12】にすると、

5+7+11+12+13=48

となり、すでに上で書かれたもので、これ以上増やせません。

次に【14】にすると、

5+9+11+13+14=52 となり、48になりません。

次に【16】にすると、

5+7+9+11+16=48

となり、すでに上に書かれたもので、これ以上増やせません。

ここまでの検証から、【16】より大きい数にすると、

48以上になってしまうことがわかったので、

5つの箱に入っているボールの数の組は、

5,6,7,11,19) 、(5,6,7,13,17

5,7,8,9,19)、(5,7,8,11,17)

5,7,9,11,16)、(5,7,11,12,13

7,8,9,11,13)

以上の7組です。 

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