下の図は、正方形ABCDを、頂点Cを中心として時計回りに1回転させたときに、頂点A,Bが動いてできた円です。図の青い部分の面積が50.24cu のとき、次の問に答えなさい。

   Pic_2384q

(1)正方形ABCD の1辺の長さは何cmですか。

(2)頂点A が動いてできた円の面積を求めなさい。

(3)正方形ABCD が90°回転したとき、辺ABが通過した部分の面積を求めなさい。

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こたえ

(1)青い扇形の面積が50.24cu なので、

半径×半径×3.14÷4=50.24 より、

半径×半径=64 なので、半径=正方形の1辺の長さ=8cmと求められます。

(2)頂点A が動いてできる円の半径=正方形の対角線AC で、

正方形の面積=対角線×対角線÷2 より、

64=対角線×対角線÷2 → 対角線×対角線=128

とわかります。

よって、頂点A が動いてできる円の面積は、

対角線×対角線×3.14=128×3.14=401.92cu

と求められます。

(3)辺ABが通過する部分は、下の図1のようになります。

    Pic_2385a

この場合、いろいろな面積の求め方ができます。

たとえば、下の図2のように2つの部分に分けて合わせることもできます。

    Pic_2386a

図2の黄色い部分は、正方形の面積から、90°の扇形の面積を除いて、

8×8−8×8×3.14÷4

図2の青い部分の面積は、

正方形の対角線を半径とした90°の扇形の面積から、正方形と同じ面積を除いて、

128×3.14÷4−8×8

黄色い部分と青い部分を合計して、

8×8−8×8×3.14÷4+(128×3.14÷4−8×8)

=(32−16)×3.14=16×3.14

50.24cu と求められます。

また、下の図3のように、同じ面積の部分を移してしまう方法もあります。

問題慣れしてる人は、こちらの解法で解けるはずです。

    Pic_2387a

すると、求める面積は、

(対角線×対角線−8×8)×3.14÷4

=(128−64)×3.14÷4=16×3.14

50.24cu となります。

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