下の図1は、スイッチの入れ方によって透明になったり、不透明になったりする1辺10cmの立方体の装置を表しています。この装置を図2のように、たて、横、高さ6個ずつすき間なく積み重ねて立体を作ります。

Pic_2690q

この立体を机の上に置き、それぞれの立方体のスイッチの入れ方でいろいろな立体を表すものとします。このとき、次の問に答えなさい。

(1)下の図3のような立体を表すとき、透明な立方体は最低何個ありますか。また、最大何個ありますか。ただし、どの側面から見ても図3のような見取り図になるものとします。

Pic_2691q

(2)下の図4のように、8個の立方体以外をすべて透明にして、1辺20cmの立方体を表すものとします。このとき、図2の立体の中における図4の立方体の位置は全部で何通りありますか。

             Pic_2692q

(3)上から見て下の図5のように見えるとき、透明な立方体は最低何個ありますか。

      Pic_2693q

(4)どの方向から見ても図5のように見えるとき、透明な立方体は最低何個ありますか。

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こたえ

(1)図2の立方体を作る小さい立方体の個数は、

6×6×6=216個 です。

図3の立体について、上から1段目〜6段目とします。

1段目と2段目に、2×2×2=8個

3段目と4段目に、4×4×2=32個

5段目と6段目に、6×6×2=72個

の立方体が残っているとき、透明な立方体の個数が最も少なく、

216−(8+32+72)=104個 です。

また、図3の立体の内部にさらに透明な立方体があると考えることができます。

3段目と4段目に、1段目と2段目と等しい8個、

5段目と6段目に、3段目と4段目と等しい32個

が透明なとき、透明な立方体の個数は最多となり、

104+8+32=144個 です。

(2)図2の立方体の正面に図4の立方体を置くことを考えると、

下の図6のように、たて、横それぞれ5通りずつの配置を考えることができるので、

5×5=25通り の置き方があります。

      Pic_2694a

さらに、図2の立方体の置くへ、5通りの配置を考えることができます。(輪切りにしていくイメージ)

よって、立方体の位置は、25×5=125通り あります。

(3)透明な立方体の数が最も少ないのは、

透明な部分が図5の中央の12個×6=72個 だけのときです。

(4)どの方向から見ても図5のように見えるには、

すべての面に図5のような12個の透明な立方体が必要なので、

(3)の72個に加えて、12×4面=48個

が透明になります。

さらに、下の図7の青い部分の立方体が、

2個×4か所=8個透明にならなければ、

すべての方向から図5のようには見えません。

 Pic_2695a

よって、どの方向から見ても図5のように見えるには、透明な立方体は、

最低で、2+48+8=128個 必要です。

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