半径3cm、中心角60度の扇形ABCの1辺が長方形に接しています。長方形のDEの長さは6cm、EFの長さは扇形ABCの弧の長さと等しくなっています。

Pic_0777q

扇形がすべることなく長方形の周りを時計回りに移動して1周するとき、次の問に答えなさい。

(1)扇形が通った部分を図示しなさい。

(2)(1)で図示した部分の面積は、扇形ABCと三角形ABCの何個分の面積と等しくなるか答えなさい。

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こたえ

(1)扇形が通る部分を図示すると下の図のようになります。

    Pic_0778a_7

(2)扇形が通る部分は、下の図のように3つの部分に分類でき、

   Pic_0779a

三角形ABC(正三角形)と同じものが青い部分で、4個あります。

黄色い扇形の部分は、中心角の合計が

120×4+60×2=60×10 なので、

扇形ABC10個分と等しいことになります。

緑色の長方形の部分は、たてが扇形ABCの弧の長さと等しく、

よこの長さは3cmです。

扇形の弧の長さは、

3×2×3.14×60/360=3.14cm なので、

緑の部分の面積の合計は、

3.14×3×2=6×3.14 cu です。

扇形ABCの面積は、

3×3×3.14×60/360=1.5×3.14 cu なので、

緑の部分の面積の合計は、扇形ABCの面積の

6÷1.5=4個分 と等しいことがわかります。 

よって、扇形ABCの通った部分の面積は、

扇形ABCの面積14個分と、三角形ABCの面積4個分を

合わせたものと等しくなります。

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1000題の中学受験算数解法集